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Mathématiques Financières

Responsable : N. Touzi

  1. Membres de l’équipe
    1. Membres permanents
    2. Chercheurs associés
    3. Doctorants (en cours)
    4. Doctorants (cinq dernières années)
    5. Départs récents
  2. Activités de recherche
    1. EDP dépendant de la trajectoire et EDS rétrogrades
    2. Transport optimal sous contrainte de Martingale
    3. Approximation et simulation de systèmes non-linéaires
    4. Contrôle de systèmes stochastiques et applications à la finance
    5. Méthodes asymptotiques et applications
    6. Ingénierie financière
    7. Statistiques des processus à temps continu et analyse des carnets d’ordre

Projets liés à l’équipe : ANR Isotace, ERC Advanced Grant ROFIRM 2012, Chaire Risques Financiers, Chaire Finance et Développement durable, Chaire Marchés en mutation

Membres permanents

- Ankush Agarwal, post-doctorant
- Emmanuel Bacry, (Chargé de recherche CNRS)
- Jocelyne Bion-Nadal, Chargée de recherche CNRS
- Julien Claisse, post-doctorant
- Stefano De Marco, Professeur chargé de cours
- Emmanuel Gobet, Professeur
- Yiqing Lin, post-doctorant
- Marcello Rambaldi, post-doctorant
- Alexandre Richard, post-doctorant
- Mathieu Rosenbaum, Professeur
- Mauro Rosestolato, post-doctorant
- Nizar Touzi, Professeur

Chercheurs associés

- Laurent Denis (Université du Mans)
- Céline Labart (Université de Chambery)
- Pierre Henry-Labordère (Société Générale)
- Jérome Lelong (Université de Grenoble)
- Anis Matoussi (Université du Mans)
- Jean-François Muzy (Université de Corse)
- Denis Talay (INRIA Sophia-Antipolis)

Doctorants (en cours)

- Hadrien De March (directeur : N. Touzi). Transport optimal martingale.
- Kaitong Hu (directeur : N. Touzi).
- Omar El Euch (directeur : M. Rosenbaum). Produits dérivés en présence de volatilité fractionnaire.
- Gustav Matulewicz (directeurs : E. Gobet et S. Gaiffas). Modèles de graphes aléatoires pour le risque systémique et l’interaction d’agents.
- Saad Mouti (directeurs : N. El Karoui et M. Rosenbaum). Couverture de produits dérivés du point de vue d’un assureur.
- Pamela Saliba (directeur : M. Rosenbaum). Trading haute fréquence : analyse statistique et régulation.

Doctorants (cinq dernières années)

- Khalil Al Dayri, Market Microstructure and Modeling of the Trading Flow. Directeurs : E. Bacry et M. Hoffman, thèse soutenue en 2012. Khalil est actuellement quant chez Antares Technologies.
- Romain Bompis, Développements stochastiques pour les diffusions et applications. Directeur : Emmanuel Gobet. Romain est actuellement quant chez CA-CIB.
- Tarik Ben Zineb, Efficient Valuation of GMWB Contrats. Directeur : Emmanuel Gobet, thèse soutenue en decembre 2012. Tarik est actuellement quant chez Thomson-Reuters.
- Emilie Fabre, Some Contributions to Control and Backward Equations in finance. Directeur : Nizar Touzi, thèse soutenue en février 2012. Emilie est actuellement quant à la Société Générale.
- Gaoyue Guo, Trasport Optimal en temps continu sous contrainte de martingale et couverture robuste. Directeur : Nizar Touzi thèse soutenue en septembre 2016. Gaoyue est actuellement post-doc à l’Université de Oxford.
- Thibault Jaisson, Etudes de problèmes statistiques venant de la microstructure des marchés. Directeurs : Emmanuel Bacry et Mathieu Rosenbaum, thèse soutenue en 2015.
- Nabil Kazi-Tani, Dynamic Risk Measures and Second Order Backward SDEs. Directeurs : Nicole El Karoui et Jocelyne Bion-Nadal, thèse soutenue en décembre 12. Nabil est actuellement Maître de Conférences à l’Université de Lyon.
- Nicolas Landon, Risk Management in Energy Markets. Directeur : Emmanuel Gobet, thèse soutenue en février 2013. Nicolas est actuellement quant chez Dexia.
- Gang Liu, Simulation d’événements rares. Directeur : Emmanuel Gobet, thèse soutenue en 2016.
- Trung-Lap Nguyen, Financial Risk in Insurance and Long term risk. Directeur : Nicole El Karoui, thèse soutenue en septembre 12.
- Guillaume Royer, Transport Optimal sous contrainte de martingale. Directeur : Nizar Touzi. Guillaume est actuellement quant à Bank of America Merrill Lynch.
- Chao Zhou, Model Uncertainty and Second Order Backward SDEs. Directeur : Anis Matoussi, thèse soutenue en décembre 12. Chao est actuellement Assistant Professor à l’Université NUS (Singapour).

Départs récents

- Nicole El Karoui (Professeur jusqu’à août 2009).
- Caroline Hillairet (Maitre de conférences jusqu’à août 2015), actuellement Professeur à l’ENSAE.
- Peter Tankov (Professeur chargé de cours jusqu’à août 2011), actuellement Professeur à l’ENSAE.
- Sigrid Kallblad, post-doctorante (13-16)
- Christian Litterer, post-doctorant (14-15)
- Stefano Pagliarani, post-doctorant (14-15)
- Plamen Turkedjiev, post-doctorant (13-15)

Activités de recherche

La recherche de notre équipe est motivée par les applications en mathématiques financières qui ouvrent de nouvelles perspectives et soulèvent de nouveaux problèmes d’analyse stochastique, de techniques d’approximation numérique, ainsi que de méthodes statistique. Par conséquent, notre spectre de centres d’intérêt s’étend de problèmes appliqués issus de l’ingénierie financière, nécessitant de techniques mathématiques sophistiquées, à des problèmes théoriques d’analyse stochastique et de théorie du contrôle stochastique, avec un accent sur les aspects numériques et statistiques associés.


- EDP dépendant de la trajectoire et EDS rétrogrades. Motivée par les applications en contrôle stochastique et en mathématiques financières, la théorie des équations différentielles stochastiques rétrogrades (EDSR) a connu un développement important depuis les début des années 90. Dans un modèles markovien, une EDSR est associée à une équation aux dérivées partielles (EDP) du second ordre parabolique semilinéaire et la solution de l’EDSR est la solution de Sobolev spécifique à l’EDP correspondante. C’est pourquoi on peut considérer les EDSR comme des solution de Sobolev d’une EDP semilinéaire dépendant de la trajectoire. Une première série de contributions de notre équipe dans ce domaine concerne l’extension des résultats au cas où le bruit sous-jacent est une martingale dans un espace de probabilité général (cf. Bion-Nadal). Ces développements sont motivés par les mesures de risque dynamiques continues en temps. Touzi et coauteurs ont apporté une autre contribution importante à la théorie des EDSR en étudiant les EDSR de second ordre, qui peuvent être vues comme une solution de Sobolev d’une EDP du second ordre parabolique non-linéaire dépendant de la trajectoire. En particulier, de même que pour les équations de Hamilton-Jacobi-Bellman, les EDSR du second ordre fournissent une caractérisation unique de la fonction valeur d’un problème de contrôle stochastique dans un modèle éventuellement non-markovien. Récemment, Touzi et coauteurs (Ekren, Keller et Zhang) ont développé une notion de solutions de viscosité pour les EDP du second ordre parabolique dépendant de la trajectoire. La difficulté est de contourner la propriété de compacité locale de l’espace d’état sous-jacent, requise dans la théorie standard des solutions de viscosité. Ceci fut réalisé en remplaçant la condition tangentielle point par point par une condition tangentielle dans le sens d’un problème d’arrêt optimal sous une espérance non-linéaire.


- Transport optimal sous contrainte de Martingale. La gestion robuste des risques nécessite d’affaiblir le plus possible les hypothèses faites sur le modèle sous-jacent. Dans ce contexte, une ramification intéressante de la théorie du transport optimal a été introduite par Touzi et coauteurs. On suppose que le marché financier est sans arbitrage, et qu’il existe une règle de pricing linéaire continue. On suppose de plus que les prix des Calls européens de tous prix d’exercice, pour des maturités données, sont disponibles sur le marché. Alors le problème de couverture robuste de produits dérivés s’identifie au problème dual de Kantorovitch d’un problème de transport optimal sur l’espace des trajectoires avec une restriction martingale sur l’espace des mesures jointes. Le coût du transport est déterminé par les caractéristiques du contrat que l’on considère. De plus, le nouveau problème de transport optimal est étroitement relié au problème du plongement de Skorohod (cf. Henry-Labordère et Touzi avec Obloj et Spoida) et la théorie récemment développée des PCOC (Processus croissants pour l’ordre convexe). Une autre contribution récente est l’analogue du théorème de Brenier dans un contexte martingale. Le cas uni-dimensionnel a été développé par Henry-Labordère et Touzi, le cas général étant un projet en cours.

Ce nouveau sujet en plein essor a reçu le financement d’une ANR (Projet ISOTACE), et d’une ERC (Advanced grant ROFIRM).


- Approximation et simulation de systèmes non-linéaires. Motivée par ses applications en contrôle stochastique et aux problèmes de temps d’arrêt optimal, une activité importante de notre équipe concerne le design de nouveaux algorithmes probabilistes pour l’approximation des solutions d’équations progressives-rétrogrades (FBSDE) et, plus généralement, d’EDSR du second-ordre. Une autre motivation est le problème de transport optimal sous dynamiques contrôlées, dont la formulation duale revient à optimiser des EDSR (cf. Tan et Touzi), ouvrant la voie à de nouvelles méthodes numériques pour les problèmes de transport optimal. Gobet a introduit une discrétisation en temps, optimale pour les BSDEs, dont la spécification est déterminée en fonction de la régularité fractionnaire (sur l’espace de Wiener) de la condition terminale (cf. Gobet et Makhlouf, et Gobet et Geiss). L’approximation numérique des EDSR du second ordre est étudiée par Touzi et co-auteurs, qui obtiennent une borne sur la vitesse de convergence, en adaptant des techniques de la théorie des solutions de viscosité. Des schémas nouveaux et complètement implémentables pour les EDSR sont proposés, en utilisant des processus de branchements marqués comme dans Henry-Labordère, Tan et Touzi, ou des méthodes de régression empirique basées sur des techniques d’apprentissage statistique (cf. Gobet et Turkedjiev). Ces méthodes sont développées et analysées dans un cadre assez général, et conduisent à des algorithmes efficaces et robustes permettant de traiter des situations multi-dimensionnelles. Elaborer des algorithmes parallèles est aussi une question importante, que l’on envisage de développer prochainement.

Ce sujet de recherche bénéficie du soutien financier de l’Initiative de Recherches Méthodes numériques pour le contrôle stochastique du laboratoire FiME.


- Contrôle de systèmes stochastiques et applications à la finance. Les problèmes de décisions optimales en finance sont souvent formulés par des problèmes de contrôle stochastique avec des caractéristiques spécifiques qui nécessitent de nouveaux développement mathématiques. Une contribution importante de notre groupe est la théorie du contrôle stochastique avec cible (cf. Touzi et al.) qui peut être vu comme une extension de problèmes de contrôle stochastique standard, et qui sont intimement liés à des équations géométriques décrivant la propagation d’un front en géométrie différentielle. Une seconde contribution importante à la théorie générale est le principe de programmation dynamique faible récemment développé par Touzi et Bouchard, qui contourne les questions difficiles de mesurabilité du principe de programmation dynamique classique. Motivé par l’importance en finance de la dépendance des trajectoires, en particulier en ce qui concerne la mesure du risque (cf. Bion-Nadal), Touzi et al. ont développé une extension de l’approche de la programmation dynamique dans le contexte de problèmes de contrôle stochastique dépendant de la trajectoire. De plus, beaucoup d’applications à des problèmes pertinents en finance ont été développés. Par exemple, le problème de couverture et d’investissement optimal avec coût de liquidité et d’investissement optimal dans des modèles avec sauts, éventuellement avec des contraintes de type mesure de risque (cf. Tankov), d’investissement optimal avec taxes sur les gains du capital, et d’investissement optimal sous information partielle (cf. Hillairet).


- Méthodes asymptotiques et applications. Dans le cadre des outils de l’ingénierie financière, le calcul asymptotique est souvent exploité dans les applications industrielles. Cette application a été largement développée notamment pour le problème de simulation et calibration de modèle. Une approche pertinente a été développé dans les travaux de Gobet, Miri et Benhamou, et de Gobet et Bompis. De plus, De Marco a fourni des résultats théoriques sur les bornes exponentielles pour la densité d’une diffusion avec coefficients non-Lipschitziens, et donnée des représentations et approximations asymptotiques pour les surfaces de volatilité (implicite et locale) ayant le but d’améliorer les techniques de simulation et de calibration. Une autre problématique est l’étude de l’erreur associée à la discrétisation d’une stratégie de couverture en temps continu : précisément, la question consiste à concevoir une grille (aléatoire) d’instants, représentant les dates de balancement à temps discret, qui soit optimale dans le sens de la minimisation asymptotique de l’erreur de couverture. Une solution élégante et générale a été donné dans le travail de Gobet et son doctorant Landon. Enfin, les développements asymptotiques dans le problème d’investissement optimal en présence de petits coûts de transaction ont été abordés dans le travail de Touzi et co-auteurs. Une dérivation rigoureuse du développement au premier ordre était un problème ouvert depuis le début des années ’90 : dans le cadre d’une fonction d’utilité de type puissance, la réponse avait été donnée dans la littérature en exploitant la structure explicite du problème. Le cas général, résolu dans les travaux de Touzi, Soner et Possamai, adapte l’approche a l’homogénéisation par solution de viscosité au problème en question, où la variable rapide est déterminée de façon endogène par l’optimisation du système limite.


- Ingénierie financière. Plusieurs nouveaux problèmes ont émergé dans le scénario des marchés après crise, demandant de nouvelles actions de recherche et développement basée sur l’analyse stochastique, les outils de l’optimisation, les méthodes numériques et de simulation. El Karoui and Hillairet ont étudié des nouveaux problèmes liés au risque de longévité et à ses produits dérivés. Tankov a analysé le contrat de type ``risque de gap’’, dont le payoff dépend d’un saut négatif dans le processus de prix sous-jacent. Motivée par des contrats introduits par le gouvernement français, Hillairet a étudié l’impact du partenariat public-privé. Tankov a fourni des bornes model-free améliorées pour les prix de certains dérivés dépendant de plusieurs sous-jacents. Touzi a étudié l’effet de l’illiquidité dans la couverture des options, en donnant une caractérisation en termes d’EDPs non-linéaires dégénérées, et analysé le correspondant développement asymptotique lorsque l’illiquidité tend vers zéro, tandis que Tankov a considéré le problème de géstion optimale de portefeuille en présence de risque de liquidité. Gobet et co-auteurs ont introduit des nouvelles techniques d’approximation analytique pour les modèles stochastiques, et des problèmes de discrétisation liés à l’analyse de l’erreur de couverture ont été considérés dans différents travaux de Tankov. Enfin, Touzi a étudié le problème de gestion des dérivés dans les marchés du carbone, qui donnent lieu à des équations stochastiques progressives-rétrogrades couplées (FBSDEs).


- Statistiques des processus à temps continu et analyse des carnets d’ordre. Avec la croissance du trading électronique et suite aux différentes crises et krachs de la dernière décennie, modéliser avec précisions les séries financières est devenu un challenge majeur. Cette problématique doit être étudié à différentes échelles de temps : de la ultra haute fréquence (de l’ordre de la milli-seconde, i.e., l’échelle de temps d’un carnet d’ordre), à l’échelle de temps de la microstructure (de l’ordre de la seconde) jusqu’à une échelle journalière (voire mensuelle) à laquelle les prix sont clairement diffusifs. Ceci est la clé pour comprendre les dynamiques sous-jacentes à la formation des prix, et la cl* à beaucoup d’applications (contrôle des risques, régulation, market design, market making, couverte en haute fréquence, exécution optimale d’ordres). Les contributions récentes de notre équipe dans ce domaine vont dans deux directions :

- En utilisant la théorie d’invariance d’échelle, Bacry a développé des modèles qui reflètent la plupart des faits stylisé des séries financières sur une vaste échelle temporelle (de l’heure, à plusieurs années). Le modèle basé sur la Marche Aléatoire Multifractale (MRW, pour Multifractal Random Walk model) nécessite uniquement de trois paramètres et est une solution particulièrement élégante et utile pour obtenir des prévisions. Ces modèles sont maintenant devenus des modèles multifractals standards qui sont étudiés par plusieurs équipes de recherche internationales.

- Bacry a aussi introduit des modèles de microstructure basés sur des processus ponctuels (multivarié) à haute fréquence. Ces modèles reproduisent très précisément les effets de microstructure (signature plot, effet de Epps, ...). De plus, leurs propriétés diffusives peut etre contrôlées facilement car la matrice de covariance diffusive est connue sous forme fermée en fonction des paramètres microscopiques. En ce sens, ces modèles devraient se révéler particulièrement utiles pour l’étude du risque systémique induit par le trading haute fréquence et pour comprendre comment la régulation pourrait le contrôler. Ces modèles utilisent de façon importante les processus de Hawkes, et peuvent constituer des briques de bases que l’on peut facilement assembler pour étudier une problématique particulière. De plus, Bacry et Muzy ont développé récemment un nouvel algorithme d’estimation non paramétrique pour les processus de Hawkes qui peut rendre particulièrement efficace l’estimation des paramètres de n’importe lequel de ces modèles.


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