Les méthodes d'ordre élevé (FV, GD, SV), supérieures à deux, peuvent être rapidement dégradées par la présence de domaines à frontière non-polygonale (frontière courbe) entrainant une erreur d'ordre deux due à une mauvaise prise en compte de la condition de bord (disons, une condition de Dirichlet). Le problème est bien connu depuis les années 60-70 et l'introduction des éléments isoparamétriques a permis de retrouver les ordres optimaux. Son extension aux méthodes DG et SV est plus récente mais s'avère très efficace. Malheuresement, cette technique souffre de deux défauts majeurs: le maillage avec des éléments courbes; la contruction de fonctionelle non-lineaire entre éléments courbes et l'élément de référence. Si le deuxième point reste abordable (pénible mais faisable), par contre le maillage par éléments courbes s'avère parfois impossible à réaliser. Ollivier-Gooch et Van Altena ont introduit en 2002, une technique différente pour la méthode FV mais on butte toujours sur le problème du maillage par éléments courbes. Du plus la méthode nécessite des formules d'intégration d'ordre élevé sur le bord courbe et dans l'élément courbe, ce qui n'est pas toujours possible.
Dans cette présentation, je vais introduire une nouvelle méthode dans le cadre FV permettant de construire un schéma d'ordre très élevé pour des domaines à bord courbe sans avoir recours aux éléments courbes ni à une quelconque transformation géométrique non-linéare (en bref, c'est plus simple): la méthode ROD (Reconstruction with Off-site Data). On travaille sur deux domaines distincts: le domaine physique avec son bord courbe (on imposera une condition de Dirichlet) et un domaine polygonal approché où on effectura tous les calculs. Le point clef est le transfert des conditions de bord réel sur le domaine polygonal via une technique de reconstruction polynomial très simple.
En résumé: