Algèbre de groupe en caractéristique 1
et distances invariantes sur un groupe ﬁni

7 Septembre, 2017

Dominique Castella
Université de la Réunion
Laboratoire d’Informatique et de Mathématiques, Pôle Technologique Universitaire,
97490 Sainte Clotilde, France
E-mail: dominique.castella@univ-reunion.fr,
Stéphane Gaubert
INRIA Saclay-Île-de France and CMAP,École Polythechnique, UMR 7641 CNRS
CMAP, Route de Saclay, 91128 Palaiseau Cedex, France
E-mail: Stephane.Gaubert@inria.fr Invariant metrics on a ﬁnite group arise in particular in statistics. They turn out to be closely related to the idempotent elements of the group algebra over the min-plus semiﬁeld. The central idempotents (corresponding to bi-invariant metrics) are given by the characters of linear representations of this group. We show that these characters can be obtained from irreducible characters, and more generally, that every idempotent has a unique decomposition as a sum of minimal idempotents. We characterize the minimal idempotents, and construct the irreducible characters from the conjugacy classes of the group. This shows in particular that all the invariant metrics are generated by a ﬁnite parametric family of invariant metrics, which are Cayley metrics of cyclic subgroups. The usual distances over

S_{n}

are easily recovered from this construction. These result partly carry over to inﬁnite groups. Résumé . Les distances et plus généralement les métriques invariantes sur un groupe ﬁni, utilisées en particulier en statistique, sont étroitement liées aux idempotents de l’algèbre du groupe sur le semi-corps idempotent des réels min-plus. Comme dans le cas classique, les idempotents centraux (qui correspondent aux distances bi-invariantes) sont donnés par les caractères de représentations linéaires de ce groupe. Nous montrons que ces caractères s’obtiennent encore à partir de caractères irréductibles et que plus généralement les idempotents admettent une décomposition unique en somme d’idempotents minimaux. Nous déterminons de façon explicite les idempotents minimaux et nous donnons de même la construction des caractères irréductibles à partir des classes de conjugaison du groupe. Ce travail conduit en particulier à la mise en valeur d’une famille ﬁnie de métriques invariantes, à valeurs entières, engendrant toutes les autres : ce sont les métriques de Cayley associées aux sous-groupes monogènes. Les distances usuelles sur

S_{n}

s’interprètent alors facilement dans cette construction. Ces résultats se généralisent en partie aux groupes inﬁnis. 1 Introduction

Les métriques sur un ensemble ﬁni ont été étudiées en combinatoire et en programmation linéaire (voir en particulier [CD79], [Avi80], [DP00], [DDP02] ou encore [BD92]). Elles interviennent notamment en analyse phylogénétique ([Bun74], ou [DT98] ou bien [DMT96]). La situation où l’ensemble est muni d’une structure de groupe et où la métrique est invariante (d’un côté ou des deux) apparaît en statistique, voir [Dia88] ou [Cri85], mais aussi en théorie des codes correcteurs. Ces métriques sont alors données par les fonctions longueurs sur le groupe. Les métriques invariantes sur le groupe symétrique

S_{n}

, qui incluent par exemple la distance de Hamming, ont été particulièrement étudiées. Nous renvoyons le lecteur à [DH98] pour un tour d’horizon.

Dans cet article, nous considérons les métriques sur un groupe du point de vue de l’algèbre tropicale : la construction de l’algèbre de groupe

k [G]

s’étend au cas où

k

est le semi-corps des réels min-plus,

ℝ_{min}

. Ce dernier est constitué des éléments de

ℝ \cup {+ \infty}

et muni de l’addition

(a, b) \mapsto min (a, b)

et de la multiplication

(a, b) \mapsto a + b

. des réels min-plus. La donnée d’une métrique, invariante d’un côté, équivaut alors à la donnée d’un idempotent de la semi-algèbre de groupe

ℝ_{min} [G]

, la donnée d’une métrique invariante des deux côtés à celle d’un idempotent central de cette algèbre. Ceci nous permet de traduire les questions de décomposition des métriques invariantes en termes d’algèbre de groupe, au sens tropical.

Dans le cas classique, l’étude de l’algèbre de groupe

k [G]

sur un corps

k

est équivalente à l’étude des représentations linéaires de ce groupe et les idempotents centraux sont donnés par les caractères à valeurs dans le corps. Ils sont donnés par les caractères irréductibles qui forment une base des fonctions centrales sur le groupe. Plus généralement, quand la caractéristique du corps ne divise pas l’ordre du groupe, les idempotents sont sommes d’idempotents minimaux correspondant à des sous-modules simples de l’algèbre de groupe (voir par exemple [Ser78], [CR81] ou [Ren75]).

Nous généralisons ici au cas tropical ces propriétés et, malgré des diﬀérences inévitables, nous obtenons des résultats assez similaires qui permettent de décrire les idempotents à partir d’idempotents "minimaux" et les idempotents centraux à l’aide de caractères irréductibles. Ceci permet de décomposer les distances invariantes sur un groupe comme inﬁmum d’une famille de distances associées aux graphes de Cayley des sous-groupes cycliques.

Ces décompositions sont d’autre part étroitement liées à la structure du groupe et en particulier au problème de l’écriture minimale d’un groupe comme réunion de sous-groupes propres ([Bha09], [Coh94] ou [CMN08]).

Les semi-corps idempotents apparaissent comme les "corps" de la caractéristique 1 et il est possible de développer une algèbre linéaire dans ce cadre; pour les généralités sur ces structures, on pourra se reporter à [But03] ou encore à [GP97], [CC10], [Gol99], [Les09] ou [Cas10] .

On déﬁnit sans diﬃcultés la notion de module sur un tel semi-corps (voir par exemple [CGQ04]).

Dans toute la suite

(k, +, \times)

désigne un semi-corps idempotent totalement ordonné pour la relation d’ordre induite par l’addition (

a \leq b

a + b = b

); les éléments neutres respectifs de l’addition et de la multiplication seront notés

0_{k}

1_{k}

G

est un groupe ﬁni.

On peut, comme dans le cas classique, considérer l’algèbre de groupe

k [G]

, qui est le

k

-module libre de base

G

, la multiplication se déduisant par bilinéarité de la loi de

G

. On notera

1_{G}

l’élément neutre de

G

, qui est donc aussi l’élément unité de

k [G]

k [G]

est un semi-anneau idempotent, intègre (mais non simpliﬁable, puisque

{(1_{G} + g)}^{2} \neq 1_{G} + g^{2}

pour

g \neq 1_{G}

), non commutatif si

G

n’est pas abélien. On appellera support d’un élément

x = \sum_{g} x_{g} g \in k [G]

la partie de

G

formée des éléments tels que

x_{g} \neq 0_{k}

, (notée

supp (x)

Un élément

e \in k [G]

e = \sum_{g \in G} χ (g) g

est un idempotent (

e = e^{2}

) si et seulement si la fonction associée

χ

, vériﬁe les égalités

χ (g) = \sum_{h \in G} χ (h) χ (h^{- 1} g)

pour tout

g \in G

, c’est-à-dire si la fonction

χ

est idempotente pour le produit de convolution.

Dans la suite le terme idempotent sera utilisé au sens d’idempotent non nul.
On utilisera les deux fonctions suivantes de

k [G]

dans

k

Déﬁnition 1 Soit $x = \sum_{g \in G} χ (g) g \in k [G]$ ; on lui associera les scalaires

M (x) = \sum_{g \in G} χ (g)

N (x) = \sum_{g \in G, g \neq 1_{G}} χ (g) .

Remarque 2 On vériﬁe par un simple calcul que pour tous $x, y \in k [G]$ ,

M (x y) = M (x) M (y) .

Proposition 3 Un élément non nul $e \in k [G]$ , $e = \sum_{g \in G} χ (g) g$ est un idempotent si et seulement si la fonction associée $χ$ , vériﬁe $χ (1_{G}) = 1_{k}$ ainsi que les inégalités $χ (g h) \geq χ (g) χ (h)$ pour tout $(g, h) \in G^{2}$ . $χ (g)$ est alors nécessairement inférieur ou égal à $1_{k}$ pour tout $g \in G$ .

Démonstration L’inégalité

χ (g h) \geq χ (g) χ (h)

résulte aussitôt de l’idempotence. Si

e

est idempotent, il vient

M (e) = M {(e)}^{2}

, et donc

M (e) = 0_{k}

M (e) = 1_{k}

. Le premier cas est exclu car on a supposé

e \neq 0

et donc

M (e) = 1_{k}

. Il en résulte que

χ (g) \leq 1_{k}

pour tout

g \in G

et que

χ (h) = 1_{k}

pour au moins un

h \in G

. Comme

h^{n} = 1_{G}

pour un certain entier

n

, il vient

χ (1_{G}) \geq χ {(h)}^{n} = 1_{k}

et donc

χ (1_{G}) = 1_{k}

. Par ailleurs, les conditions énoncées dans la proposition sont trivialement suﬃsantes.

Remarque 4 Sur le semi-corps $k = ℝ_{min}$ des réels "min-plus", c’est à dire sur le semi-corps $(ℝ \cup {+ \infty}, min, +)$ , $e = \sum_{g} ℓ (g) g$ est donc un idempotent si et seulement pour tout couple $(g, h)$ d’éléments de $G$ , $ℓ (g h) \leq ℓ (g) + ℓ (h)$ , et $ℓ (1_{G}) = 1_{k} = 0$ ; $ℓ$ est alors à valeurs positives et est une fonction longueur ( ou norme au sens de [Bat95]) sur $G$ (non nécessairement symétrique), ou ce qui est équivalent, la fonction $d$ , déﬁnie par $d (g, h) = ℓ (g^{- 1} h)$ est une métrique invariante à gauche.

Il est facile de voir que cette fonction $d$ est une distance (ﬁnie) si et seulement si, pour tout élément de $G$ , $g \neq 1_{G}$ , $0 < ℓ (g^{- 1}) = ℓ (g) < + \infty$ .

Les points dont la distance à l’élément neutre est ﬁnie forment un sous-groupe

K

G

et de même les points dont la distance à

1_{G}

est nulle forment un sous-groupe

H

; ces deux sous-groupes sont normaux si

d

est bi-invariante et dans ce cas la semi-métrique sur

G

provient donc d’une métrique sur le groupe quotient

K ∕ H

Lemme 5 Si $e = \sum_{g \in G} χ (g) g$ est un idempotent d’un groupe ﬁni $G$ , l’ensemble des $g \in G$ tels que $χ (g) = 1_{k}$ et l’ensemble des $g \in G$ tels que $χ (g) > 0_{k}$ sont des sous-groupes de $G$ .

Démonstration La fonction

χ

est idempotente, d’où :

1_{k} \geq χ (g h) \geq χ (g) χ (h)

, pour tout couple

(g, h) \in G^{2}

, ce qui prouve que

H = χ^{- 1} (1_{k})

K = χ^{- 1} (] 0_{k}, 1_{k}])

sont stables par produit et sont donc des sous-groupes (puisqu’ils contiennent l’élément neutre).

Déﬁnition 6

Un idempotent $e \in k [G]$ est dit indécomposable s’il n’est pas somme d’idempotents strictement plus petits (i.e. vériﬁe la condition : $e = \sum_{i} e_{i}$ où les $e_{i}$ sont des idempotents, implique que $e = e_{i}$ , pour au moins un $i$ ).
On dira de même qu’une fonction de $G$ dans $k$ idempotente (pour le produit de convolution) est indécomposable si l’idempotent associé l’est, c’est-à-dire que, si elle est la somme d’autres fonctions idempotentes, elle doit être égale à l’une d’elles.

Proposition 7 Soit $n$ l’ordre du groupe ﬁni $G$ . Pour tout $x = \sum_{g \in G} x_{g} g \in k [G]$ , tel que $M (x) \leq 1_{k}$ , on peut déﬁnir l’étoile de Kleene de $x$ :
$x^{*} = \sum_{k \in ℕ} x^{k} = \sum_{0 \leq k \leq n - 1} x^{k}$ et $x^{*}$ est un idempotent de $k [G]$ .

Démonstration Cette série est stationnaire à partir du rang

n - 1

: le support de

x^{*}

est inclus dans le sous-groupe

H

d’ordre

m \leq n

, engendré par le support de

x

. Toute décomposition minimale d’un élément de

H

en produit

g_{i}

d’éléments du support de

x

h = g_{1} \dots g_{k}

(i.e. avec

k

tel que les

g_{1} \dots g_{s}

soient tous distincts pour

s \leq k

), a donc au plus

m - 1

éléments et les autres décompositions ont des coeﬃcients inférieurs puisque les

x_{g}

sont plus petit que

1_{k}

.
Il est alors clair que

x^{*}

est bien idempotent.

Proposition 8 Soit $G$ un groupe ﬁni d’ordre $n$ .
1) $N (e f) = N (e) + N (f)$ pour tout couple d’idempotents de $k [G]$ .
2) A tout élément $g \neq 1_{G}$ de $G$ , et tout $λ \in k$ , $λ \leq 1_{k}$ , on peut associer l’idempotent $e_{λ, g} = {(λ g)}^{*} = \sum_{0}^{n - 1} {(λ g)}^{k}$ de $k [G]$ .
3) Si $f = e_{λ, g}$ , $N (f) = λ$ .
Les idempotents $e_{λ, g}$ et $e_{μ, h}$ associés à deux éléments distincts $g$ et $h$ du groupe sont donc diﬀérents si $0 < λ < 1_{k}$ ou $0 < μ < 1_{k}$ .

Démonstration 1) En notant

e = \sum χ (g) g

f = \sum ψ (g) g

e f = \sum 𝜃 (g) g

, on a, pour

g \neq 1_{G}

𝜃 (g) = \sum_{h k = g} χ (h) ψ (k) \leq N (e) + N (f)

. Comme

e

f

sont des idempotents

𝜃 (g) \geq χ (g) ψ (1_{G}) + χ (1_{G}) ψ (g) = χ (g) + ψ (g)

, d’où l’autre inégalité.

3) Comme

λ \leq 1_{k}

, il est immédiat que

N ({(λ g)}^{*}) = λ

; si

e_{λ, g} = e_{μ, h}

on a donc

λ = μ

et si

0 < λ < 1_{k}

, pour tout

u \in G

u \neq 1_{G}

u \neq g

, le coeﬃcient de

u

est strictement inférieur à celui de

g

ce qui impose donc

h = g

Nous allons montrer que ces idempotents, qui se classent en familles indicées par

[0_{k}, 1_{k}]

dans

k

, attachées aux éléments de

G

, sont les idempotents indécomposables et permettent d’obtenir tous les idempotents de

k [G]

Proposition 9 Soit $G$ un groupe ﬁni d’ordre $n$ . Tous les idempotents sont sommes d’une famille ﬁnie d’iidempotents $e_{λ, g}$ , $0_{k} \leq λ \leq 1_{k}$ , $g \in G$ .
Tous les idempotents indécomposables sont donc de cette forme et les idempotents de cette forme sont tous indécomposables.

Démonstration Soit

e = \sum_{g} χ (g) g

un idempotent de

k [G]

:
considérons les idempotents

f_{g} = {(χ (g) g)}^{*}

, (

g \neq 1_{G}

) et

f = \sum_{g} f_{g}

; comme, pour tout

g

e \geq χ (g) g

, on a aussi

e \geq f_{g}

et donc

e \geq f

. Mais

e = \sum_{g} χ (g) g \leq \sum_{g} f_{g} = f

et on a donc l’égalité.
Ceci prouve que tous les idempotents sont sommes d’une famille ﬁnie de

f_{g}

et si de plus

e

est indécomposable, c’est donc l’un de ces idempotents.
Soit maintenant

e = {(λ g)}^{*}

pour

λ \leq 1_{k}

g \in G

:
Si

e

est la somme d’une famille ﬁnie d’idempotents

(e_{i})

, chaque

e_{i}

étant lui même somme d’idempotents

e_{i, j} = {(λ_{i, j} g_{i, j})}^{*}

e

peut donc s’écrire comme somme de ces idempotents.
On a nécessairement

λ = N (e) \geq N (e_{i, j}) = λ_{i, j} \geq λ_{i, j}^{k_{i, j}} = λ

, pour au moins un couple

(i, j)

, avec

g = g_{i, j}^{k_{i, j}}

; on a alors nécessairement, si

λ < 1_{k}

k_{i, j} = 1

λ = λ_{i, j}

, ce qui donne

e = e_{i, j}

et prouve donc bien que

e

est indécomposable; si

λ = 1_{k}

, ce qui précède montre que

g

appartient au sous-groupe engendré par

g_{i, j}

et d’autre part

e \geq e_{i, j}

montre réciproquement que

g_{i, j}

est dans le support de

e

et appartient au sous-groupe engendré par

g

; on a donc encore que

e = g^{*} = g_{i, j}^{*} = e_{i, j}

Lemme 10 On a $e_{λ, g} \leq e_{μ, h}$ , pour deux idempotents indécomposables, si et seulement si $g$ appartient au sous-groupe engendré par $h$ et $λ \leq μ^{k}$ où $k$ est le plus petit entier tel que $g = h^{k}$ .

Démonstration La condition est nécessaire puisque le coeﬃcient de

g

dans

e_{μ, h}

est justement

μ^{k}

.
Réciproquement

λ g \leq e_{μ, h}

implique bien

e_{λ, g} = {(λ g)}^{*} \leq e_{μ, h}

La proposition suivante montre qu’un idempotent admet une unique décomposition (à l’ordre près) en somme d’idempotents indécomposables, qui est la somme des indécomposables maximaux parmi ceux inférieurs à cet idempotent :

Proposition 11 Soit $e = \sum_{g \in G} 𝜃 (g) g$ un idempotent de $k [G]$ . Soient $ℰ$ l’ensemble des idempotents $f_{g} = {(𝜃 (g) g)}^{*}$ et $F$ l’ensemble des $g \in G$ tels que $f_{g}$ soit maximal dans $ℰ$ : l’écriture $e = \sum_{g \in F} f_{g}$ est minimale et toute décomposition de $e$ en somme d’idempotents indécomposables contient ces idempotents.

Démonstration D’après la proposition précédente, il est clair que l’on a bien

e = \sum_{g \in F} f_{g}

.
On peut alors remarquer que

e_{λ, g} + e_{μ, g} = e_{λ + μ, g}

et donc qu’une écriture minimale (c’est-à-dire dont on ne peut enlever aucun terme) comportera au plus un idempotent indécomposable déﬁni par chaque

g \in G

.
Soit alors une telle décomposition en somme d’idempotents indécomposables de

e

e = \sum_{g \in K} {(μ_{g} g)}^{*}

; pour

g \in F

e \geq f_{g}

implique qu’il existe

h \in G

tel que

h^{k} = g

μ_{h}^{k} \geq 𝜃 (g)

, soit

{(μ_{h} h)}^{*} \geq f_{g}

, ce qui par déﬁnition de

F

donne

e_{μ, h} = {(μ_{h} h)}^{*} = f_{g}

Remarque 12 Distance de Cayley :

Pour obtenir un idempotent à coeﬃcients non nuls, il suﬃt de partir d’une famille génératrice $S$ et de considérer l’idempotent $e_{λ} = {(λ \sum_{g \in S} g)}^{*}$ ou, plus généralement, l’idempotent $e_{λ} = {(\sum_{g \in S} λ^{ℓ (g)} g)}^{*}$ où $ℓ$ est déﬁnie sur $S$ .
On a alors $e_{λ} = \sum λ^{ℓ_{S} (g)} g$ où $ℓ_{S}$ est ici la fonction longueur prolongée à $G$ en posant $ℓ_{S} (g) = inf {ℓ (g_{1}) + \dots + ℓ (g_{k}) ∕ g_{1} \dots g_{k} = g, \forall i, g_{i} \in S}$ .
Par exemple, pour $S_{n}$ si l’on prend pour $S$ la classe des transpositions, la longueur d’une transposition est la longueur de sa décomposition minimale en produit de transpositions et la distance associée est la distance de Cayley.
La distance de Hamming s’obtient de même à partir de la famille génératrice $S$ composée des cycles, mais avec $ℓ (σ)$ égal à la longueur du cycle $σ$ : la distance à l’unité d’un cycle pour la distance de Hamming est égale à la longueur du cycle et pour une permutation le nombre d’éléments déplacés est inférieur ou égal à la somme des longueurs des cycles; le minimum de cette somme est donc obtenue avec la décomposition en produit de cycles de supports disjoints et est bien égal à la distance de Hamming entre cette transposition et l’identité.

Corollaire 13 En posant $ℓ_{g} (h) = inf {k \in ℕ ∕ h = g^{k}}$ si $h$ est dans le sous-groupe engendré par $g$ , et $+ \infty$ sinon, on obtient donc une famille de fonctions longueurs à valeurs entières (et donc de métriques invariantes associées) telle que toute fonction longueur puisse s’écrire comme minimum d’au plus $n - 1$ fonctions longueurs $α_{g} ℓ_{g}$ , $0 < α_{g}$ . $ℓ_{g}$ est la fonction longueur associée au graphe de Cayley du sous-groupe monogène engendré par $g$ .

Remarque 14 Pour $λ = 1_{k}$ , l’écriture minimale de l’idempotent $ω_{G} = \sum_{g \in G} g$ donnée par la décomposition en idempotents indécomposables obtenue ci-dessus s’obtient en gardant les $g^{*}$ tels que $g$ engendre un sous-groupe cyclique maximal, puisque si $g$ engendre le sous-groupe $H$ , $g^{*} = ω_{H} = \sum_{h \in H} h$ ; cette décomposition est donc équivalente à l’écriture de $G$ comme réunion de ses sous-groupes cycliques maximaux (en eﬀet $G = \cup_{i} H_{i}$ équivaut à $ω_{G} = \sum_{i} ω_{H_{i}}$ ) ([CMN13] ou [LG16]).

Soient

G

un groupe ﬁni et

k

un semi-corps idempotent totalement ordonné.
Le centre de ce semi-anneau

Z = Z (k [G])

est engendré comme habituellement par les éléments

a_{C} = \sum_{g \in C} g

, où

C

est une classe de conjugaison de

G

(puisque pour

x \in Z

et pour tout

g \in G

g x g^{- 1} = x

, ce qui implique que les coeﬃcients de deux éléments conjugués sont les mèmes). C’est donc encore un

k

-module libre de dimension le nombre de classes de conjugaison de

G

La base

(𝜃_{C})

, duale de la base

(a_{C})

Z

, est donc une base de l’ensemble des fonctions centrales (i.e. constantes sur les classes de conjugaison) sur

G

à valeurs dans

k

. Un idempotent

e

est central si et seulement si la fonction idempotente associée

χ

, (telle donc que

e = \sum_{g \in G} χ (g) g

) est centrale (i.e. constante sur les classes de conjugaison) et on peut alors écrire

e = \sum_{C} χ (a_{C}) a_{C}

, oû

C

parcourt l’ensemble des classes de conjugaison de

G

Déﬁnition 15 Une fonction centrale idempotente (pour le produit de convolution) sera appelée caractère idempotent de $G$ .

Remarque 16

Un caractère idempotent $χ$ déﬁnit donc un idempotent central de l’algèbre de groupe $e = \sum χ (g) g$ .
La valeur en $g$ du caractère $χ$ est la trace de l’endomorphisme de $k [G]$ , $h \mapsto e g^{- 1} h$ (multiplication par $e g^{- 1}$ ) : ce qui correspond dans le cas classique au fait que le caractère considéré est la trace de la représentation sur $e k [G]$ , sous-représentation de la représentation régulière.

On appellera

m

le nombre de classes de conjugaison distinctes de

G

, qui est donc aussi la dimension du centre

Z

k [G]

Déﬁnition 17 Un idempotent $e$ est dit irréductible s’il est central et s’il n’est pas la somme d’une famille ﬁnie d’idempotents centraux strictement inférieurs :
i.e. si $e = \sum_{i = 1}^{n} e_{i}$ , où les $e_{i}$ sont des idempotents centraux et $n \in ℕ$ , implique que $e = e_{i}$ , pour au moins un $i$ .

On dira de même qu’un caractère idempotent est irréductible si l’idempotent associé l’est, c’est à dire que, s’il est la somme d’autres caractères idempotents, il doit être égal à l’un d’eux.

Nous allons montrer que ces idempotents irréductibles, permettent d’obtenir tous les caractères idempotents et donc tous les idempotents centraux de

k [G]

, et se classent en familles indexées par

[0_{k}, 1_{k}]

dans

k

, attachées aux classes de conjugaison de

G

Proposition 18 Soit $C_{1}$ la classe de conjugaison réduite à l’élément neutre de $G$ .
1) Pour toute classe de conjugaison $C$ de $G$ , la suite ${({(C_{1} \cup C)}^{k})}_{k}$ est croissante et stationnaire à partir d’un rang $p \leq m - 1$ .
2) Pour toute classe de conjugaison $C$ de $G$ et tout $λ \in k, λ \leq 1_{k}$ , la série $(\sum λ^{k} a_{C}^{k})$ converge et ${(λ a_{C})}^{*} = \sum_{n \in ℕ} {(λ a_{C})}^{n} = \sum_{0}^{m - 1} λ^{k} a_{C}^{k}$ .
$e_{λ, C} = {(λ a_{C})}^{*}$ est un idempotent central de $k [G]$ , de caractère associé ${(λ 𝜃_{C})}^{*}$ (l’étoile s’entendant ici au sens du produit de convolution des fonctions centrales sur $G$ ).
3) Tous les idempotents centraux sont sommes d’une famille ﬁnie d’idempotents $e_{λ, C}$ , $C$ parcourant les classes de conjugaison de $G$ , $0 \leq λ \leq 1_{k}$ . Tous les idempotents irréductibles sont donc de cette forme et les idempotents de cette forme sont tous irréductibles.
4) La décomposition minimale d’un idempotent central en somme d’irréductibles est unique (à l’ordre près).

1) Pour tout

k

{(C_{1} \cup C)}^{k}

est une réunion de classes de conjugaison : soit

n_{k}

le nombre de ces classes. La suite

({(C_{1} \cup C)}^{k})

est croissante et stationne dès que deux termes consécutifs sont égaux; il en est donc de même de la suite

(n_{k})

. Dans le cas non trivial où

C \neq C_{1}

n_{1} = 2

n_{k} \leq m

, le résultat est clair.

2) La convergence résulte du a) et le reste de l’assertion se vériﬁe de manière élémentaire.

3) La preuve est analogue à celle concernant les idempotents indécomposables :
Soit

e = \sum_{g} μ_{g} g = \sum_{C} μ_{C} a_{C}

un idempotent central de

k [G]

: considérons les idempotents

f_{C} = {(μ_{C} a_{C})}^{*}

f = \sum_{C} f_{C}

; comme, pour toute classe

C

e \geq μ_{C} a_{C}

, on a aussi

e \geq f_{C}

et donc

e \geq f

.
Mais

e = \sum_{C} μ_{C} a_{C} \leq \sum_{C} f_{C} = f

et on a donc l’égalité.
Ceci prouve que tous les idempotents centraux sont sommes des

f_{C}

et si de plus

e

est irréductible, c’est donc l’un de ces idempotents.
Soit

e = e_{λ, C}

pour

λ \leq 1_{k}

C

désignant une classe de conjugaison de

G

.
Si

e

est la somme d’une famille ﬁnie d’idempotents centraux, chacun étant lui même somme d’idempotents associés à des classes de conjugaisons, il suﬃt donc, ici encore, de considérer une décomposition

e = \sum {(λ_{i} a_{C_{i}})}^{*}

et de montrer que l’un de ces idempotents est nécessairement égal à

e

:
on a donc pour

g \in C

λ = λ_{i}^{r}

pour au moins un

i

et un

r \in ℕ

tel que

C \subset C_{i}^{r}

; on a d’autre part

N (e) = λ \geq N ({(λ_{i} a_{C_{i}})}^{*}) = λ_{i}

. D’où, si

λ \neq 1_{k}

r = 1

, soit

C = C_{i}

λ = λ_{i}

, ce qui donne le résultat. Si

λ = 1_{k}

, ce qui précède montre que

C

est incluse dans le sous-groupe

H_{i}

engendré par

C_{i}

.
L’inclusion de

H_{i}

dans le sous-groupe

H = supp (e)

est donné par l’inégalité

e \geq {(λ_{i} a_{C_{i}})}^{*}

. L’égalité des sous-groupes équivaut ici à l’égalité des idempotents.

4) L’unicité se démontre aussi en suivant la même méthode que pour la décomposition en indécomposables :
on peut d’abord remarquer que

e_{λ, C} + e_{μ, C} = e_{λ + μ, C}

et donc qu’une écriture minimale comportera au plus un idempotent irréductible déﬁni par chaque classe

C \subset G

.
D’autre part on a encore

e_{λ, C} \leq e_{μ, D}

si et seulement si il existe

k

tel que

C \subset D^{k}

λ \leq μ^{k}

. L’écriture minimale de

f = \sum f_{C} a_{C}

s’obtient en prenant uniquement la somme des

e_{f_{C}, C}

maximaux dans la famille.

Remarque 19

Pour $λ = 1_{k}$ , la décomposition de l’idempotent $ω = \sum_{g \in G} g$ obtenue ci-dessus revient à écrire le groupe $G$ comme réunion de sous-groupes normaux engendrés par certaines classes de conjugaisons, et ces sous-groupes seront propres si aucune classe de conjugaisons n’engendre le groupe. Un groupe sera donc "anti-simple" si et seulement l’idempotent $ω$ n’est pas irréductible ([Bha09]).

La proposition précédente permet aussi de donner une caractérisation simple des idempotents irréductibles, qui ne sont pas de la forme

ω_{H}

pour un sous-groupe

H

G

Proposition 20 1) Si $e$ et $f$ sont deux idempotents centraux, $e + f$ est un idempotent si et seulement si $e f = e + f$ .
2) Un idempotent $e$ , tel que $N (e) \neq 1_{k}$ , est irréductible s’il est central et vériﬁe la condition :
$e = f g$ où $f$ et $g$ sont deux idempotents centraux implique $e = f$ ou $e = g$ .

Démonstration 1) Comme les idempotents sont tous supérieurs à

1_{G}

e f

est un idempotent (car

e

f

sont centraux) supérieur à

e + f

. Or

{(e + f)}^{2} = e + f + e f

2) Supposons vériﬁée la condition du 2) : si

e = e_{1} + e_{2} \dots + e_{n}

: on a de même

e \leq e_{1} e_{2} \dots e_{n} \leq e^{n} = e

, d’où

e = e_{1}

e = e_{2} \dots e_{n}

et on a donc le résultat par itération.
Réciproquement il suﬃt, d’après la proposition précédente, de montrer que les

e_{λ, C} = {(λ a_{C})}^{*}

vériﬁent cette condition, soit donc que

e_{λ, C} = f g

où

f

g

sont deux idempotents centraux, implique

e = f

e = g

:
or on peut écrire

f = \sum e_{λ_{i}, C_{i}}

g = \sum e_{μ_{i}, C_{i}}

1 \leq i \leq m

où les

C_{i}

sont les

m

classes de conjugaisons et les

λ_{i}

μ_{i}

des scalaires inférieurs à

1_{k}

.
De l’égalité

e = \sum_{i, j} e_{λ_{i}, C_{i}} e_{μ_{j}, C_{j}}

et de

e_{λ_{i}, C_{i}} e_{μ_{j}, C_{j}} = \sum_{k, l} λ_{i}^{k} μ_{j}^{l} a_{C_{i}}^{k} a_{C_{j}}^{l}

on tire aisément

N (e) = λ = \sum_{i, j} (λ_{i} + μ_{j})

, soit

λ = sup_{i, j} (λ_{i}, μ_{j})

. On peut donc supposer qu’il existe un

i

tel que

λ = λ_{i}

est maximal (quitte à intervertir

f

g

) ce qui implique aussi, puisque

λ < 1

C = C_{i}

et donne bien ﬁnalement

e \geq f \geq e_{λ_{i}, C_{i}} = e

Exemple 21 Mais d’autre part une somme d’idempotents irréductibles n’est pas nécessairement un idempotent :
En prenant pour $G$ le groupe à 4 éléments ${(ℤ ∕ 2 ℤ)}^{2} = {1, a, b, c}$ , avec donc $a^{2} = b^{2} = c^{2} = 1$ et $a b = c$ , $1 + a$ et $1 + b$ sont bien deux idempotents irréductibles et $1 + a + b$ n’est pas un idempotent.

Pour remédier à cet état de fait et obtenir une construction directe des idempotents centraux à partir des irréductibles, on peut utiliser d’après ce qui précède le produit au lieu de la somme (le produit de deux idempotents centraux étant bien lui un idempotent) :

Proposition 22 Les idempotents centraux sont exactement les produits d’idempotents irréductibles.

Démonstration En eﬀet si

e

est un idempotent central, on a vu que

e

était somme d’une famille ﬁnie d’idempotents irréductibles,

{(f_{i})}_{1 \leq i \leq n}

, et

e \geq f_{i}

pour tout

i

,ce qui implique

e = e^{n} \geq f_{1} \dots f_{n}

et ce produit étant supérieur à la somme est bien aussi plus grand que

e

Remarque 23 1) Il y a donc $m - 1$ familles d’idempotents irréductibles, données par $m - 1$ familles de caractères irréductibles, pour un groupe $G$ ayant $m$ classes de conjugaison. L’idempotent $1_{G}$ qui correspond à la classe de l’élément neutre, s’obtient aussi en faisant $λ = 0_{k}$ dans une de ces familles, si le groupe n’est pas réduit à un élément .
2) Les idempotents centraux de $k [G]$ , et donc les distances bi-invariantes sur $G$ , forment un treillis pour la relation d’ordre usuelle (sur un semi-anneau idempotent) $e \geq f$ si $e + f = e$ et donc $e f = e$ , puisque les idempotents sont supérieurs à $1_{G}$ . $e \geq f$ équivaut donc à $e k [G] \subset f k [G]$ ; cet ordre est donc l’opposé de celui déﬁni par l’inclusion (à l’inverse du cas classique où $e f = e$ indique que $f$ se décompose en $e + (1 - e) f$ ) :
Le sup de $e$ et $f$ est en eﬀet $e f$ (puisque $e f \geq e$ , $e f \geq f$ et $g \geq e$ , $g \geq f$ implique $g = g^{2} \geq e f$ ) et l’inf est $h = \sum inf (χ (g), ψ (g)) g$ si $e = \sum χ (g) g$ et $f = \sum ψ (g)$ , (puisque $h$ ainsi déﬁni est bien un idempotent inférieur à $e$ et $f$ et que $k \leq e$ et $k \leq f$ implique $k \leq h$ ).

Proposition 24 Soit $C$ une classe de conjugaison d’un groupe ﬁni $G$ et $λ < 1_{k}$ .
On déﬁnit, pour $g$ appartenant à la classe de conjugaison $D$ , $i = i (g, C) = i (D, C)$ comme le plus petit entier tel qu’un élément $g \in G$ appartienne à la réunion de classes $C^{i}$ , s’il existe, sinon on pose $i (g, C) = + \infty$ . On a alors pour tout $g \in G$ , $χ_{λ, C} (g) = λ^{i (g, C)}$ , et donc : $e_{λ, C} = \sum λ^{i (D, C)} a_{D}$ .
(avec les conventions $C^{0} = {1}$ , et donc $i (1, C) = 0$ pour toute classe $C$ , et $λ^{+ \infty} = 0_{k}$ , si $λ < 1_{k}$ ).

Démonstration La proposition découle du calcul de

e_{λ, C} = {(λ a_{C})}^{*} = \sum_{0}^{m - 1} λ^{k} C^{k}

: le coeﬃcient de

g

dans cette somme est en eﬀet

λ^{i}

où

i

est le premier indice tel que

g \in C^{i}

Remarque 25 1) Si $D$ n’est pas la classe de $1$ , les $i (C, D)$ ﬁnis sont donc tous inférieurs ou égaux à $m - 1$ .
2) En posant, pour chaque classe de conjugaison $C$ , $ℓ_{C} (h) = inf {k \in ℕ ∕ h \in C^{k}}$ , si $h$ est dans le sous-groupe engendré par $C$ et $+ \infty$ sinon, on obtient donc une famille de fonctions longueurs à valeurs entières, centrales, (et donc de distances bi-invariantes associées) telle que toute fonction longueur centrale puisse s’écrire comme inﬁmum d’au plus $m - 1$ fonctions longueurs $α_{C} ℓ_{C}$ , $α_{C} > 0$ .

Exemple 26 Pour $G = A_{3}$ (ou $ℤ ∕ 3 ℤ$ ), et $ρ = (1, 2, 3)$ les classes sont réduites à un élément et les deux familles d’idempotents irréductibles sont les familles $e_{λ} = {(λ ρ)}^{*} = 1 + λ ρ + λ^{2} ρ^{2}$ , et $f_{λ} = {(λ ρ^{2})}^{*} = 1 + λ ρ^{2} + λ^{2} ρ$ , pour $λ \leq 1_{k}$ .

Exemple 27 Pour $G$ cyclique d’ordre $4$ engendré par $g$ , les classes sont aussi réduites à un élément et les trois familles d’idempotents irréductibles sont : $e_{λ} = {(λ g)}^{*} = 1 + λ g + λ^{2} g^{2} + λ^{3} g^{3}$ , $f_{λ} = {(λ g^{2})}^{*} = 1 + λ g^{2}$ , et $h_{λ} = {(λ g^{3})}^{*} = 1 + λ g^{3} + λ^{2} g^{2} + λ^{3} g$ , pour $λ \leq 1_{k}$ .

Exemple 28 Pour $G = S_{3}$ , en notant $σ$ la transposition $(1, 2)$ , les classes sont $C_{1} = {1}$ , $C_{2} = {ρ, ρ^{2}}$ , $C_{3} = {σ, σ ρ, σ ρ^{2}}$ et les éléments centraux correspondants $1$ , $a_{2} = ρ + ρ^{2}$ , $a_{3} = σ + σ ρ + σ ρ^{2}$ .
Un calcul facile donne donc ici les deux familles d’idempotents centraux correspondant aux éléments de base : $1 + λ a_{2}, 1 + λ^{2} a_{2} + λ a_{3}$ .

Exemple 29 Pour $G = A_{4}$ , il y a 4 classes de conjugaison, $C_{1} = {1}$ , $C_{2}$ formée des produits de deux transpositions de supports disjoints, et deux classes $C_{3}$ et $C_{4}$ formées des 3-cycles, $C_{4}$ étant composée des inverses des éléments de $C_{3}$ et vériﬁant $C_{3}^{2} = C_{4}$ , $C_{4}^{2} = C_{3}$ , $C_{3} C_{4} = C_{2}$ .
Il y a donc aussi 4 éléments dans la base associée du centre qui seront notés $a_{i}$ pour $1 \leq i \leq 4$ .
Les familles d’idempotents irréductibles associées à ces classes sont :
${(λ a_{2})}^{*} = 1 + λ a_{2}$
${(λ a_{3})}^{*} = 1 + λ a_{3} + λ^{2} a_{4} + λ^{3} a_{2}$
et ${(λ a_{4})}^{*} = 1 + λ a_{4} + λ^{2} a_{3} + λ^{3} a_{2}$ .

Exemple 30 Pour $G = S_{4}$ , il y a 5 classes de conjugaison (dont 3 dans $A_{4}$ ) : $C_{1} = {1}$ , $C_{2}$ formée des produits de deux transpositions de supports disjoints, $D_{3}$ formée des cycles de longueur 3, $D_{4}$ formée des transpositions et $D_{5}$ des cycles de longueur 4.
Il y a donc aussi 5 éléments dans la base associée du centre qui seront notés $a_{1}, a_{2}, b_{3}, b_{4}, b_{5}$ pour éviter la confusion avec les éléments centraux de $k [A_{4}]$ , qui ne le sont plus dans $k [S_{4}]$ ( $b_{3} = a_{3} + a_{4}$ donc).
Les 4 familles d’idempotents correspondantes sont :
$e_{2, λ} = 1 + λ a_{2}$ ,
$e_{3, λ} = 1 + λ^{2} a_{2} + λ b_{3}$ ,
$e_{4, λ} = 1 + λ^{2} (a_{2} + b_{3}) + λ b_{4} + λ^{3} b_{5}$ ,
$e_{5, λ} = 1 + λ^{2} (a_{2} + b_{3}) + λ^{3} b_{4} + λ b_{5}$ .

A noter que $e_{3, λ}$ qui est donc irréductible dans $k [S_{4}]$ , ne l’est pas dans $k [A_{4}]$ .

Remarque 31 On peut voir facilement que la distance de Cayley sur $S_{n}$ est déﬁnie par le caractère associé à la classe des transpositions, et donc dans cet exemple,à $D_{4}$ et à l’idempotent $e_{4, λ}$ ; par contre la distance de Hamming n’est pas "irréductible"; elle est associée sur $S_{4}$ à l’idempotent central $1 + λ^{4} a_{2} + λ^{3} b_{3} + λ^{2} b_{4} + λ^{5} b_{5}$ et donc déﬁnie à partir de la distance à l’identité des cycles, égale à leurs longueurs. Une décomposition minimale de cet idempotent est $e_{4, λ^{2}} + e_{3, λ^{3}} + e_{5, λ^{5}}$ .

Exemple 32 Soit $Q = {1, - 1, i, - i, j, - j, k, - k}$ le groupe des quaternions.
Les classes de conjugaison en sont : $C_{1} = {1}$ , $C_{2} = {- 1}$ , $C_{3} = {i, - i}$ , $C_{4} = {j, - j}$ et $C_{5} = {k, - k}$ .
En notant $a_{i} = \sum_{g \in C_{i}} g$ pour $1 \leq i \leq 5$ , les familles d’idempotents irréductibles associées aux classes sont :
$1 + λ a_{2}$ , $1 + λ^{2} a_{2} + λ a_{3}$ , $1 + λ^{2} a_{2} + λ a_{4}$ , $1 + λ^{2} a_{2} + λ a_{5}$ .

Les fonctions coordonnées "symétriques" i.e. vériﬁant

χ (g) = χ (g^{- 1})

correspondent aux fonctions longueurs symétriques et donc aux "métriques symétriques". Dans le cas de

S_{n}

les fonctions coordonnées, et donc les caractères centraux, sont tous symétriques car

g

g^{- 1}

sont toujours conjugués (

g

g^{- 1}

ayant même formule). Les distances faibles sont donc toutes des distances.

Pour

A_{3}

(exemple 1) ce sont ceux qui vériﬁent

χ (ρ) = χ (ρ^{2})

. Il ne sont donc pas en général irréductibles, sauf

1

1 + a_{2} + a_{3}

En général les idempotents symétriques sont sommes d’idempotents symétriques minimaux :

Proposition 33 1) Les idempotents $f_{λ, g} = {(λ (g + g^{- 1}))}^{*}$ sont symétriques et tous les idempotents symétriques sont sommes d’idempotents $f_{λ, g}$ .
2) $f_{λ, g} = e_{λ, g} + e_{λ, g^{- 1}} = {(λ g)}^{*} + {(λ g^{- 1})}^{*}$ .

Démonstration 1) En eﬀet si

f = \sum x_{g} g

est un idempotent symétrique et

f \geq e_{λ, g}

alors

f \geq x_{g} g^{- 1}

et donc

f \geq f_{λ, g}

{(λ g + λ g^{- 1})}^{*} = \sum {(λ g + λ g^{- 1})}^{k} = \sum {(λ g)}^{k} + {(λ g^{- 1})}^{k}

λ \leq 1

assurant que les autres termes sont plus petits.

Plus généralement si

S

est une famille génératrice du groupe

G

, l’idempotent

{(\sum_{g \in S} λ_{g} g)}^{*}

est un idempotent symétrique si

S

l’est et

λ_{g} = λ_{g^{- 1}}

pour tout

g \in S

Pour une classe de conjugaison

C

, on notera

C^{-}

la classe des

g^{- 1}

pour

g \in C

; on peut alors donner une famille génératrice d’idempotents "symétriques irréductibles" :

Proposition 34 Les idempotents centraux $f_{λ, C} = {(λ (a_{C} + a_{C^{-}}))}^{*}$ sont symétriques et tous les idempotents symétriques sont sommes d’idempotents $f_{λ, C}$ .

Démonstration En eﬀet si

f = \sum_{C} λ_{C} a_{C}

est un idempotent central symétrique, on a

f \geq λ_{C} a_{C}

, d’où

f \geq λ_{C} a_{C^{-}}

et donc

f \geq f_{λ, C}

Remarque 35 1) En général $f_{λ, C} \neq e_{λ, C} + e_{λ, C^{-}}$ .
2) Si l’on regarde les distances classiques invariantes d’un seul côté sur $S_{n}$ (cf. [Dia88]), associées donc à l’idempotent $e_{d} = \sum λ^{d (1, σ)} σ$ :
- la distance $I$ dite "Kendall’s tau", qui compte le nombre minimal de transpositions adjacentes dans la décomposition d’une permutation, est déﬁnie par la famille génératrice des $(i, i + 1)$ , et donc par l’idempotent $e_{I} = {(λ \sum (i, i + 1))}^{*}$ .
- la distance $D$ dite "Footrule" sur $S_{4}$ qui provient de la norme 1, ( $D (π, σ) = \sum | π (i) - σ (i) |$ ) est aussi déﬁnie à partir de la distance à l’identité des permutations et est donc associée à l’idempotent $e_{D} = {(λ ((1, 2) + (2, 3) + (3, 4)) + λ^{2} ((1, 3) + (2, 4)) + λ^{3} (1, 4))}^{*}$ .
- on peut vériﬁer que la distance $L$ de Ulam sur $S_{4}$ , qui pour $σ \in S_{4}$ vaut $4$ moins la longueur maximale d’une sous-suite croissante dans la famille $(σ (i))$ , correspond elle à l’idempotent $e_{L} = {(λ ((1, 2) + (2, 3) + (3, 4) + (2, 3, 4) + (1, 3, 2) + (2, 4, 3) + (1, 2, 3, 4) + (1, 4, 3, 2)))}^{*}$ , c’est à dire qu’elle est entièrement déterminée par les éléments dont la distance à l’identité est $1$ (pour lesquels il existe donc une suite croissante de 3 éléments dans l’image).

On peut constater que les familles génératrices considérées sont bien symétriques et que pour la distance de Cayley, il s’agit bien d’une classe de conjugaison de $S_{n}$ .
On peut voir aussi que pour toutes ces distances usuelles, les transpositions $(i, i + 1)$ ont une distance à l’identité égale à $1$ et qu’elles sont donc toutes inférieures à la distance de Kendall; en termes d’algèbre de groupe cela se traduit par le fait que l’idempotent $e_{I}$ associé à la distance de Kendall est inférieur à celui associé à chacune des autres distances, qui appartient donc toujours à l’idéal $k [G] e_{I}$ : si $e = e^{2} \geq e_{I}$ , on a $e^{2} \geq e e_{I} \geq e$ (puisque $e_{I} \geq I_{d}$ ) et donc bien $e = e e_{I}$ ; ceci peut s’interpréter, par analogie avec le cas classique, en disant que ces distances sont associées à des sous-représentations de la représentation associée à la distance de Kendall.

Le semi-corps de base est ici le semi-corps des réels positifs max-plus

k = ℝ_{max} = (ℝ_{+}, max, \times)

(l’ordre de

ℝ_{max}

est donc l’ordre usuel).
Une partie des résultats précédents se généralise aux groupes inﬁnis; en particulier le lien entre les fonctions idempotentes et les distances invariantes subsiste, ainsi que la décomposition des fonctions idempotentes en sommes (i.e. sup) de fonctions élémentaires :
soit

G

un groupe; l’espace des toutes les fonctions de

G

dans

k

(dual de l’algèbre de groupe dans le cas ﬁni) sera ici remplacé par l’espace des fonctions majorées :

Remarque 36

En prenant comme semi-corps de base le semi-corps des réels min-plus $k = ℝ_{min} = (ℝ \cup {+ \infty}, min, +)$ , l’ordre est inversé par rapport à l’ordre usuel et il faudrait donc considérer l’espace des fonctions minorées (pour l’ordre usuel).

Déﬁnition 37 Soit $G$ un groupe et $k$ le semi-corps $ℝ_{max} = (ℝ_{+}, max, \times)$ .
1) $S (G)$ désignera l’ensemble des fonctions majorées de $G$ dans $k$ .
2) On notera $δ_{g}$ la fonction de Dirac en $g \in G$ (valant $1_{k}$ sur $g$ et $0_{k}$ ailleurs).

Proposition 38 1) $S (G)$ est muni du produit de convolution.
2) Soit $M$ la fonction déﬁnie sur $S (G)$ par $M (ψ) = \sum_{g} ψ (g)$ . La fonction $M$ est multiplicative.

1) En eﬀet le

χ * ψ (g) = sup_{h} χ (h) ψ (h^{- 1} g)

est ﬁni pour tout

g \in G

et majoré car pour tout

h

χ (h) ψ (h^{- 1} g) \leq M_{1} M_{2}

, si

χ

est majorée par

M_{1}

ψ

par

M_{2}

2) Soient

ψ_{1}

ψ_{2}

deux éléments de

S (G)

(g_{n})

(h_{n})

deux suites d’éléments de

G

telles que les suites

(ψ_{1} (g_{n}))

(ψ_{2} (h_{n}))

) tendent respectivement vers

M (ψ_{1})

M (ψ_{2})

. La suite

(ψ_{1} (g_{n}) ψ_{2} (h_{n}))

tend vers

M (ψ_{1}) M (ψ_{2})

en étant majorée par

M (ψ_{1} * ψ_{2})

. L’autre inégalité est triviale.

Déﬁnition 39 Soit $G$ un groupe.
1) On appelera idempotent de $S (G)$ une fonction idempotente de $S (G)$ (pour le produit de convolution), valant $1_{k}$ sur $1_{G}$ (i.e. égale à son étoile de Kleene).
2) Un caractère de $G$ est un idempotent de $S (G)$ central sur $G$ (i.e. invariant sur les classes de conjugaison de $G$ ) .

Proposition 40 1) Pour $λ \in [0, 1]$ et $g \in G$ , les fonctions $ϕ_{λ, g} = \sum λ^{k} δ_{g^{k}} = {(λ δ_{g})}^{*}$ , sont des idempotents de $S (G)$ .
2) Un idempotent de $S (G)$ est à valeurs dans $[0, 1]$ .
3) Pour deux idempotents de $S (G)$ , $ϕ$ et $ψ$ , $N (ϕ * ψ) = N (ϕ) + N (ψ)$ .

Démonstration 1) Ces fonctions sont clairement bornées et idempotentes et valent bien

1_{k}

sur

1_{G}

.
2) Soit

ψ \in S (G)

une fonction idempotente non nulle; on a donc

M (ψ^{2}) = M (ψ)

d’où

M (ψ) = 1_{k}

puisque

M (ψ)

ne peut être ni nul ni inﬁni.
3) Ceci résulte aisément de ce que

ϕ (1_{G}) = ψ (1_{G}) = 1_{k}

Remarque 41 Les idempotents $ψ$ de $S (G)$ , correspondent donc encore aux fonctions longueurs $ℓ$ sur $G$ , par $ℓ (g) = - ln (ψ (g))$ (et directement en prenant comme corps de base $k = ℝ_{min}$ ).

On obtient comme dans le cas ﬁni une décomposition en somme (ici inﬁnie) d’idempotents élémentaires

{(λ δ_{g})}^{*}

Proposition 42 Soit $G$ un groupe.
Tous les idempotents sont sommes d’une famille d’idempotents $(ϕ_{λ_{g}, g})$ , pour une famille ${(λ_{g})}_{g \in G}$ , avec $0_{k} \leq λ_{g} \leq 1_{k}$ pour tout $g$ .

Démonstration Soit

χ = \sum_{g} χ (g) δ_{g}

un idempotent de

S (G)

:
considérons les idempotents

f_{g} = {(χ (g) δ_{g})}^{*}

, (

g \neq 1_{G}

) et

f = \sum_{g} f_{g}

; comme, pour tout

g

χ \geq χ (g) g

, on a aussi

χ \geq f_{g}

et donc

χ \geq f

.
Mais

χ = \sum_{g} χ (g) δ_{g} \leq \sum_{g} f_{g} = f

et on a donc l’égalité. Ceci prouve que tous les idempotents sont sommes des

f_{g}

Dans le cas des groupes dénombrables on obtient donc une décomposition des idempotents de

S (G)

en sommes dénombrables d’idempotents élémentaires. Nous indiquons ci-dessous comment on peut généraliser ces décompositions “hilbertiennes” au cas des groupes topologiques séparés, pour les fonctions idempotentes correspondant aux métriques dont les boules sont compactes.

Déﬁnition 43 Soit $G$ un groupe topologique séparé et $k$ le semi-corps $ℝ_{max} = (ℝ_{+}, max, \times)$ .
1) Soit $f$ une fonction de $G$ dans $k$ . On dira que $f$ tend vers $0$ à l’inﬁni si et seulement si pour tout $α > 0$ , ${g \in G ∕ χ (g) \geq α}$ est compact.
On notera $S_{0} (G)$ le sous-espace de $S (G)$ des fonctions tendant vers zéro à l’inﬁni.
2) Pour une partie $V$ de $G$ , on notera $I_{V}$ la fonction valant 1 sur $V$ et $0$ ailleurs.

Proposition 44 1) Les fonctions tendant vers zéro à l’inﬁni sont semi-continues supérieurement et sont donc aussi bornées sur $G$ .
2) Pour tout $λ \in [0, 1 [$ et toute partie compacte $V$ de $G$ , la fonction $ϕ_{λ, V} = \sum λ^{k} I_{V^{k}} = {(λ I_{V})}^{*}$ , est un idempotent de $S_{0} (G)$ .
3) Toute fonction $f \in S_{0} (G)$ idempotente (non nulle) vériﬁe $f (1_{G}) = 1_{k}$ et est donc un idempotent de $S (G)$ , au sens ci-dessus.

1) Comme pour tout

α > 0

{g \in G ∕ χ (g) \geq α}

est compact et donc fermé et

{g \in G ∕ χ (g) \geq 0} = G

χ

est bien semi-continue supérieurement. Soit alors

H = {g \in G ∕ χ (g) \geq 1_{k}}

;

χ

étant semi-continue supérieurement est majorée sur

H

et donc sur

G

2) Comme

λ < 1

, pour tout

α > 0

, la partie

{h \in G ∕ ϕ_{λ, V} (h) \geq α} = {\cup_{i} V^{i} ∕ λ^{i} \geq α}

est une réunion ﬁnie de produits ﬁnis de compacts et est donc compacte et fermée.
Les fonctions

ϕ_{λ, V}

déﬁnies ci-dessus, tendent donc vers 0 à l’inﬁni et appartiennent bien à

S_{0} (G)

3) Puisque

f

tend vers zéro à l’inﬁni il existe un compact

K

tel que

M (f) = \sum_{g \in K} f (g)

et comme

f

est semi-continue supérieurement ce sup est atteint sur

K

: il existe donc un

h \in G

tel que

f (h) = M (f) = 1_{k}

H = f^{- 1} (1) = {g \in G ∕ f (g) \geq 1_{k}}

est alors une partie de

G

, non vide, stable (puisque

f

étant idempotente on a

f (g h) \geq f (g) f (h)

) et compacte par hypothèse : on peut alors extraire de la suite

(h^{n})

d’éléments de

H

une sous-suite convergente

(h^{n_{k}})

et la suite

(h^{n_{k + 1} - n_{k}})

est alors une suite d’éléments de

H

qui converge vers

1_{G}

1_{G}

appartient donc à

H

et on a bien

f (1_{G}) = 1_{k}

Remarque 45 1) Si $G$ est un groupe compact les fonctions semi-continues supérieurement sont bornées et tendent vers $0$ à l’inﬁni.
2) Les fonctions $ϕ_{λ, V}$ sont semi-continues supérieurement, mais ne sont pas en général continues : si $g$ est d’ordre inﬁni, on peut construire comme ci-dessus une suite $(g^{m_{k}})$ convergeant vers $1_{G}$ alors que, avec $V = {g}$ et $λ < 1$ , la suite de terme général $ϕ_{λ, V} (g^{m_{k}}) = λ^{m_{k}}$ converge vers 0.
3) Les fonctions $I_{V}$ sont symétriques si $V$ l’est et centrales si $V$ est réunion de classes de conjugaison.
4) Si $χ \in S (G)$ est une fonction idempotente symétrique, on obtient facilement que $χ (1_{G}) = 1$ et ainsi le lien avec les fonctions longueurs (symétriques), en remarquant que $χ (1_{G}) \geq χ {(g)}^{2}$ , pour tout $g \in G$ .
5) Les idempotents de $S_{0} (G)$ correspondent aux métriques invariantes sur $G$ dont les boules sont compactes.

On peut encore obtenir à partir de ces idempotents une décomposition en somme dénombrable des idempotents de

S_{0} (G)

Proposition 46 Soit $G$ un groupe topologique séparé.
1) Pour tout idempotent $ψ$ de $S_{0} (G)$ , il existe une famille dénombrable de parties compactes $(V_{n})$ et une suite $(λ_{n})$ d’éléments de $k$ telles que $ψ = \sum_{n} {(λ_{n} I_{V_{n}})}^{*}$ .
2) Tout caractère de $G$ est somme d’une famille dénombrable de caractères ${(λ_{n} I_{V_{n}})}^{*}$ .

1) Soit

{(λ_{n})}_{n \in ℕ}

une partie dénombrable de

] 0, 1 [

, dense dans

[0, 1]

:
on considère les

V_{n} = {g \in G ∕ ψ (g) \geq λ_{n}}

, non vides qui sont bien des parties compactes de

G

, par hypothèse.

ψ

est alors égal à

ϕ = \sum_{n} {(λ_{n} I_{V_{n}})}^{*}

:
Il est clair que

ψ \geq λ_{n} I_{V_{n}}

et donc

ψ \geq {(λ_{n} I_{V_{n}})}^{*}

pour tout

n

, (puisque

ψ \geq 1 = I_{{1}}

); on a ainsi

ψ \geq ϕ

. Pour

g \in G

, et tout

𝜖 > 0

, il existe un

p

tel que

ψ (g) \geq λ_{p} \geq ψ (g) - 𝜖

; on a alors

ϕ (g) \geq {(λ_{p} I_{V_{p}})}^{*} (g) \geq ψ (g) - 𝜖

. On a donc

ϕ (g) \geq ψ (g

) pour chaque

g

et ﬁnalement donc l’autre inégalité.
On a donc bien

ψ = sup_{n} {(λ_{n} I_{V_{n}})}^{*}

.
2) Si de plus

ψ

est centrale, les

V_{n} = {g \in G ∕ ψ (g) \geq λ_{n}}

sont compactes (car

ψ

tend vers 0 à l’inﬁni), stables par conjugaisons et donc réunions de classes. Les idempotents

{(λ_{n} I_{V_{n}})}^{*}

sont donc bien aussi centraux.

Remarque 47 1) On peut donc associer à un compact $V$ de $G$ la métrique invariante élémentaire $d_{V}$ , telle que $d_{V} (g) = k$ si $g \in V^{k} - \cup_{i < k} V^{i}$ .
$d_{V}$ est une distance si $V$ est réunion de classes et si la réunion des puissances de $V$ recouvre tout le groupe.
2) Si le groupe est localement compact, muni d’une distance invariante $d$ , celle-ci est donc donnée par une fonction $ψ$ qui appartient à $S_{0} (G)$ et se décompose donc en somme de fonctions élémentaires $ϕ_{α_{p}, V_{p}}$ : la distance est donc, elle, l’inf de la famille de métriques élémentaires associées.

Acknowledgements Le rapporteur a contribué par ses conseils et suggestions à l’enrichissement de cet article, en particulier de la partie sur les groupes inﬁnis, et à sa lisibilité par sa relecture attentive.
Le premier auteur souhaite aussi particulièrement remercier l’équipe Max-Plus pour ses invitations répétées et son hospitalité.

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