Les reseaux de Petri generaux, temporises sur les places, peuvent se modeliser par des equations, ou interviennent les operations min, plus, des operateurs retards, et les compteurs associes aux transitions du reseaux. Ces derniers sont les variables dont l'evolution est modelisee.
Pour etre precis, chaque evolution possible du reseau de Petri genere une solution du systeme d'equation en question, et de plus cette solution est nondecroissante, puisque les compteurs sont des variables cumulatives. Reciproquement chaque solution nondecroissante du systeme d'equation correspond a un comportement possible du reseau. Autrement ces equations constituent bien un modele comportemental du processus. L'etude de ces equations pose de nombreuses questions ouvertes, que je souhaite soumettre a la sagacite de tous.
Precisons qu'il s'agit bien d'un modele de systeme command\'e. Certaines transitions sont des sources, les compteurs correspondant jouent le role de variables de commande. Notre motivation est de resoudre des problemes inverses, du type "existe t il une loi de commande qui permette que le systeme en boucle fermee satisfasse tel objectif fixe a l'avance".
On peut constater que dans le cas ou le reseau de Petri est un graphe d'evenements, le systeme d'equation est lineaire en Min-Plus. Les proprietes de ces systemes sont assez bien connues. Dans le cas ou le resau est un graphe d'etat, notre systeme devient un systeme lineaire au sens habituel, mais ce systeme est implicite. Le systeme peut alors admettre plusieurs solutions, ce qui traduit le fait que les jetons peuvent etre orientes de differentes facon apres chaque place ; il peut aussi ne pas y avoir de solutions. La classe des systemes lineaires implicites est tres bien connue, et la litterature concernant leur commande est tres tres developpee. Une premiere question, tout a fait ouverte, est d'adapter ces resultats au cas present - c'est a dire au cas ou on ne s'interesse qu'aux solutions nondecroissantes du systeme.
Dans le cas le plus general, le systeme d'equation n'est ni lineaire en min-plus ni au sens habituel. Tout au plus on peut (au prix de l'introduction de variables intermediaires), ramener ce systeme a un couple de deux equations, qui sont respectivement lineaires en min plus et lineaires implicites. Le probleme est que peu de chose peuvent etre dites sur les proprietes de ce type de systemes.