Algèbre max-plus : Une approche géométrique.

Edouard Wagneur

L'algèbre max-plus sur les réels (auxquels on adjoint le point -infini) détermine un demi-anneau idempotent . Nnous avons proposé d'appeler pseudomodule la structure de semimodule idempotent sur ce demi-anneau. Dans cette algèbre, les équations d'évolution d'un SDED sont linéaires et du type . Plus précisement, nous avons des équations de la forme . Dans , les conditions de résolution de cette equation sont liées au problème d'accessibilité et sont telles qu'il appara^it necessaire d'étudier, en toute généralité, les classes d'équivalence des objets de la forme , où est une application (max-linéaire) de dans . Ceci nous amène à introduire le concept de torsion dans un pseudomodule, qui se distingue du concept de torsion dans un module par le fait qu'il est ici fortement lié à la structure d'ordre associée à la structure `linéaire'. Nous obtenons alors un théorème de décomposition, qui est l'analogue du théorème classique de décomposition d'un module en partie libre et partie de torsion.

Nous verrons aussi comment le concept de suite exacte courte : (),familier en théorie des groupes abéliens et des modules classiques peut être généralisé aux pseudomodules.