Des probabilités à l'optimisation : algèbre et grandes déviations

Marianne Akian (INRIA Rocquencourt)
(en collaboration avec Jean-Pierre Quadrat et Michel Viot)

Lundi 17 mars 1997

L'exposé sera une introduction à la théorie des probabilités min-plus.

Si l'on considère la théorie de la mesure dans laquelle le demi-corps est remplacé par un demi-anneau idempotent, on obtient la notion de mesure idempotente introduite par Maslov [7]. Sur le demi-corps , appelé algèbre min-plus, la mesure d'un ensemble correspond au minimum d'une fonction sur cet ensemble. La théorie des probabilités correspond alors à la théorie de l'optimisation : les variables aléatoires opèrent comme des changements de variables ou des paramétrisations de problèmes d'optimisation, la propriété de Markov correspond au principe de la programmation dynamique (Bellman), la convergence faible à une convergence de type epigraphe [7, 6, 8, 5, 1, 2, 4]... Les théorèmes limites associés aux distributions stables fournissent des résultats de convergence en contrôle optimal.

La bijection de dans transporte, sur , la structure de demi-corps de , ainsi que l'analyse classique et la théorie des probabilités auxquelles il est inhérent. Le passage à la limite quand tend vers 0, equivalent à la notion de grande déviation, permet de retrouver les notions introduites plus haut, et dans certains cas seulement, les résultats. De plus, la notion de capacité englobe tous les types de mesures décrits précédemment, et donc probabilités et optimisation; le principe des grandes deviations est alors un cas particulier de convergence faible de capacités [10, 9, 11].

Finalement, la transformée de Cramer introduite en théorie des grandes déviations, établit un morphisme entre probabilités et optimisation [3].

Références

1

M. Akian, Densities of idempotent measures and large deviations, Rapport de Recherche 2534, INRIA, 1995.

2

M. Akian, Theory of cost measures : convergence of decision variables, Rapport de Recherche 2611, INRIA, 1995.

3

M. Akian, On the continuity of the cramer transform, Rapport de Recherche 2841, INRIA, 1996.

4

M. Akian, J. P. Quadrat, and M. Viot, Duality between probability and optimization, Idempotency (J. Gunawardena, ed.), Cambridge University Press, 1997, to appear.

5

P. Del Moral, Résolution particulaire des problèmes d'estimation et d'optimisation non-linéaires, Thèse, Université Paul Sabatier, Toulouse, 1994.

6

V. N. Kolokoltsov and V. P. Maslov, The general form of the endomorphisms in the space of continuous functions with values in a numerical commutative semiring (with the operation ), Soviet Math. Dokl. 36 (1988), no. 1, 55-59.

7

V. Maslov, Méthodes opératorielles, Éditions MIR, Moscou, 1987.

8

V. P. Maslov and S. N. Samborski, Idempotent analysis, Advances In Soviet Mathematics, vol. 13, Amer. Math. Soc., Providence, 1992.

9

G. L. O'Brien, Sequences of capacities, with connections to large-deviation theory, J. theoretical probab. 9 (1996), no. 1, 19-35.

10

G. L. O'Brien and W. Vervaat, Capacities, large deviations and loglog laws, Stable processes and related topics (S. Cambanis, G. Samorodnitsky, and M.S. Taqqu, eds.), Progress in probability, vol. 25, Birkhaüser, 1991, pp. 43-83.

11

A. Puhalskii, Large deviations of semimartingales via convergence of the predictable characteristics, Stochastic and stochastics reports 49 (1994), 27-85.