Résumé. En utilisant des methodes d'analyse idempotente, on introduit des espaces metriques complets dont les elements sont des fonctions habituelles. Ces espaces sont definis formellement par des hamiltoniens, mais en realite ils ne dependent que de certaines proprietes de ces hamiltoniens. Par exemple si deux hamiltoniens sont strictement convexes, les espaces correspondants coincident. La convexite n'est pas une condition necessaire, on regarde aussi les hamiltoniens definis par des problemes de la theorie des jeux differentiels. Soit f(t,x) la fonction valeur d'un probleme de Lagrange ( en particulier d'un probleme d' optimisation) ou le prix d'un jeu, H(x,y,Dy)=0 l'equation de Hamilton-Jacobi (d'Isaacs-Bellman) correspondante. Cette equation definit l'operateur differentiel sur l'ensemble des fonctions derivables qui admettent une prolongation correcte sur l'espace introduit, et f est la solution unique dans cet espace de l'equation H(x,y,Dy)=0 avec y(0,x)=f(0,x). Ainsi les problemes d'evolution definis par des problemes extremaux peuvent etre etudies a l'aide de methodes classiques de l' analyse fonctionnelle, cette fois sur la base des operations idempotentes. Ces espaces servent aussi a decrire des convergences dans plusieurs problemes d' optimisation ou de jeux. De nombreux problemes seront proposes.