Guy Cohen, Centre Automatique et Systemes, Ecole des Mines de Paris.
Résumé.
Dans un semimodule général, on dit que l'image d'un opérateur linéaire B et le ``noyau'' d'un opérateur linéaire C sont des facteurs directs si toute classe d'équivalence modulo C contient un point et un seul appartenant à l'image de B. Ceci définit un opérateur linéaire de ``projection sur l'image de B parallèlement au noyau de C''.
Pour des matrices représentant de tels opérateurs linéaires sur certains semimodules idempotents de dimension finie comme les semimodules max-plus puissance n, on donne des tests numériques permettant de vérifier l'existence et/ou l'unicité d'une telle projection. Ces tests s'appuient sur des calculs de résiduation. On verra que l'étude de l'unicité nécessite plus de structure algébrique que celle de l'existence et passe par un lemme d'extension d'opérateurs linéaires définis initialement sur des sous-semimodules.
Pour une matrice B donnée, on propose aussi un test permettant de vérifier si son image admet un facteur direct. On montre que cette propriété est équivalente à l'existence d'un inverse généralisé de B.
Cette étude est une tentative pour jeter les bases d'une approche géométrique des opérateurs, et partant de la théorie des systèmes, max-plus linéaires.