,
ou plus généralement des matrices dont
les coefficients ont un terme dominant de la forme
.
Friedland a montré en 86
que la valeur propre de Perron de 
croît géométriquement avec un taux
égal à la moyenne géométrique maximale
des circuits du graphe de la matrice A.
Ce résultat se comprend mieux
si l'on note que cette moyenne est
précisément la valeur propre maximale de la matrice
A dans le semi-anneau max-plus:
le spectre de Perron usuel converge
vers le spectre de la matrice max-plus associée.
Par analogie, on peut s'attendre à ce que l'asymptotique du
vecteur propre de Perron soit gouvernée
par la théorie spectrale du problème
max-plus limite. Les choses ne sont pas aussi simples,
essentiellement parce que
l'espace propre max-plus d'une matrice irréductible admet en
général plusieurs générateurs indépendants.
Le taux de croissance géométrique du vecteur
propre de Perron usuel, s'il existe, est
donné par un vecteur propre max-plus bien
particulier, qu'il s'agit de déterminer.
Nous identifions des cas non-dégénérés,
où ce vecteur propre limite peut se calculer
soit via la théorie spectrale max-plus,
soit via un de ses raffinements dans un
semi-anneau de jets, introduit
précedemment par Finkelstein et Roytberg,
pour lequel nous donnons un ``théorème de Perron-Frobenius''.
Le traitement du cas général requiert une procédure d'aggrégation
à la Wentzell-Freidlin.
L'ensemble des ces résultats peut être vu comme une extension
de la ``théorie de Vishik-Lyusternik"
qui s'intéresse --à un changement de notation
près-- au cas où 
prend uniquement deux
valeurs.
References:
M. Akian and R.B. Bapat and S. Gaubert, Asymptotics of the Perron Eigenvalue and Eigenvector Using Max-algebra, C.R.A.S, 327, série I:927--932, Dec. 1998, (aussi RR INRIA 3450).
S. Friedland. Limit eigenvalues of nonnegative matrices. Linear Alg. and Appl., 74:173--178, 1986.