Distances projectives, coefficients d'ergodicité, et processus itératifs linéaires et ``pseudo-linéaires'' dans le cone positif de

Marc Artzrouni
Department of Applied Mathematics
Universite de Pau et des Pays de l'Adour (IPRA)
64000 PAU
FRANCE
marc.artzrouni@univ-pau.fr

Exposé au Groupe de Travail Algèbres Tropicales
30 Mars 1999

On introduit la distance projective dans le cône positif de . Cette distance est une pseudo-métrique car elle est nulle si et seulement deux vecteurs sont colinéaires. Cette distance permet de définir le coefficient d'ergodicité d'une matrice positive M; est un coefficient de contraction de M, considéré comme un opérateur linéaire dans le cône (pour la distance projective). Un coefficient d'ergodicité local est introduit qui est utile dans l'étude de la propriété contractante de M au voisinage d'un vecteur propre positif. Ces notions sont utilisées dans l'étude du processus linéaire nonhomogène Y(k)=A(k)Y(k-1) dans le cône positif de avec une suite de matrices A(k) irréductibles. Plus les vecteurs propres de Perron V(p) des matrices A(p) ont varié lentement (pour la distance projective) dans le passé récent précédent k, plus Y(k) sera proche de V(k) (pour la distance projective). Dans un processus itératif pseudo-linéaire la matrice A(k) est remplacée par une fonction matricielle A[Y(k-1)] du vecteur Y(k-1) qui exprime un "feedback" de Y(k-1) sur la matrice qui transformera Y(k-1) en Y(k). Lorsque cette fonction matricielle est homogène de degré 0 (cas de figure courant en dynamique des populations et en économie) un résultat nouveau de stabilité locale sera donné.