Théorie du potentiel élémentaire non linéaire

Claude Dellacherie

Exposé au Groupe de Travail Algèbres Tropicales
29 Mars 1999

Soit L l'espace des fonctions réelles bornées sur un ensemble E, muni de la norme uniforme, et P une contraction croissante de L dans L. Posant A = I-P, ou I est l'identité, on montrera qu'un système d'inegalités du type

$$v \geq u , A(v) \geq f\,\;\;\mbox{pour}\, u,f\, \mbox{donn\'es dans}\, L$$

admet, sous des conditions très générales, une plus petite solution, et que cela mène aux notions fondamentales de la theorie du potentiel : réduite, potentiel, principe du maximum, solution du problème de Dirichlet, etc. On insistera sur les deux propriétés essentielles de l'opérateur A :

1) (derivation) pour u,v dans L, si on a $u\leq v$ partout et u(x)=v(x) en un point x, alors on a $A(u)(x) \geq A(v)(x)$

2) (production) pour tout u dans L et toute constante $c\geq 0$ on a $A(u+c) \geq Au$

et on terminera par quelques mots sur la théorie non élémentaire pour laquelle les deux propriétés précédentes sont les axiomes de départ.