Un critère de rationalitprovenant de la géométrie non-commutative

Gérard Duchamp
LIFAR
Universite de Rouen
76134 Mont-Saint-Aignan Cedex France

Résumé. Dans cet exposé, on résout une conjecture qu'Alain Connes a publié dans son livre "Non Commutative Geometry" en utilisant des techniques de théorie des automates à multiplicités (commutatives et noncommutatives). Il s'agit d'etablir la rationalité de certains opérateurs dans des espaces de Hilbert de fonctions L² sur le groupe libre. La machinerie peut aussi être mise en place sans norme et fournit alors un critère de rationalité pour les séries formelles à coefficients dans un corps quelconque, ce dernier sert à redémontrer le résultat de G. Cauchon (TCS ,98 - 1992-) sur l'identité entre les ensembles de séries de Malcev-Neumann rationnelles à monomes positifs et les séries reconnaissables par automate.

Abstract. In this talk, we solve a conjecture whhich was publisheed by Alain Connes in his bbook "Non Commutative Geometry", using techniques from the theory of automata with multiplicities (commutative and noncommutative). The aim is to show the rationality of some operators on Hilbert spaces of L² functions over the free group. The machinery can also be set without norm and then gives a rationality criterium for formal series with coefficients in any field which allows to show in another way the result of G.Cauchon (TCS ,98 - 1992-) on the equality of the set of rational series with "positive" monomials and automaton-recognizable series.