Enseignant: Igor Kortchemski.

Les phénomènes aléatoires sont modélisés en utilisant la théorie moderne des probabilités, définie dans les années 1930 par Kolmogorov et dont le socle est la théorie de la mesure. La compréhension théorique de ces fondements est un atout pour forger l'intuition, pour comprendre les objets manipulés et pour les mobiliser dans un cadre appliqué ou théorique. Sans prérequis nécessaire, le but de cet EA sera de prendre le temps pour consolider quelques fondements des probabilités liés à la théorie de la mesure de manière accessible et en insistant sur les idées.  Les deux dernières séances sont consacrées à des exposés donnant des applications sur de nombreux modèles importants en théorie des probabilités (comme par exemple la percolation, les marches aléatoires en milieu aléatoire, les matrices aléatoires, le mouvement brownien, les fractales aléatoires, les graphes aléatoires, etc.).

Cet enseignement est conçu pour un public avec des intérêts variés : il pourra d'une part intéresser les étudiantes et étudiants souhaitant approfondir l'étude des probabilités, et d'autre part intéresser les étudiantes et étudiants se destinant aux applications en entreprise (une bonne compréhension de la théorie des probabilités est essentielle pour bien savoir s'orienter dans le monde des applications et y innover). Les notions abordées seront utiles pour celles et ceux qui suivent les cours "Modèles stochastiques en Finance", "Méthodes de Monte Carlo" ou encore "Modèles aléatoires en écologie et évolution".

Les séances durent environ de 13h30 à 17h/17h30 avec une partie plutôt cours et une partie plutôt exercices, avec pause au milieu. L'évaluation se fait par un exposé oral présentant un article de recherche ou une application marquante.

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Random phenomena are modelled using modern probability theory, defined in the 1930s by Kolmogorov using measure theory as a cornerstrone. The theoretical understanding of these foundations is an asset to forge intuition, to understand the objects of interest and to mobilize them in an applied or theoretical framework. Without any necessary prerequisites, the aim of this EA will be to take the time to consolidate some of the foundations of probability related to measure theory in an accessible way, emphasizing ideas and giving several applications on important models in probability theory (such as percolation, random walks in random media, random matrices, Brownian motion, random fractals, random graphs, etc.).

This course is designed for an audience with a variety of interests: on the one hand, it may be of interest to students willing to study probability in greater depth, and on the other hand, it may be of interest to students interested in business applications (a good understanding of probability theory is essential to know how to navigate and innovate in the world of applications). The concepts covered will be useful for those who follow the courses "Stochastic Models in Finance", "Monte Carlo Methods" or "Random Models in Ecology and Evolution".

The sessions last from 1:30 pm to 5 pm/5:30 pm with a rather lecture part and a rather exercise part, with a break in the middle. Evaluation is done through an oral presentation of a research paper or a significant application.

Feuilles d'exercices / exercise sheets

Starting from week 2, the course is in English.

Slides d'introduction
Feuille 1 (tribus et mesures) - Corrigé
Sheet 2 (measurable functions, Stieljes measures) - Solutions
Sheet 3 (integration) - Solutions - Convergence theorems
Sheet 4 (Independence) - Solutions - Different notions of convergence for random variables
Sheet 5 (Conditional Expectation) - Solutions - Properties of conditional expectation for nonnegative random variables.
Sheet 6 (Brownian motion) - Solutions
Sheet 7 (Properties of Brownian motion) - Solutions
Sheet 8 (Poisson random measures) - Solutions

 

N'hésitez pas à m'envoyer un mail si besoin est.

Progression

L'enseignement a lieu le mardi, à partir de 13h30 en salle PC 11, jusqu'à environ 17h30.

Semaines précédentes :

Programme à venir :

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The teaching takes place on Tuesday, from 1.30 pm in room PC 11, until about 5.30 pm.

Previous weeks:

(Provisional) programme to come:

Evaluation

L'évaluation se fera sous format de présentation d'un article de recherche ou d'une application marquante.

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Evaluation is done through an oral presentation of a research paper or a significant application.

Liste des exposés / List of presentations