Journée des Doctorants du CMAP

10-11 juin 2008

 

La salle Aquarium est réservée pour le déjeuner


Vous trouverez sur cette page les résumés des exposés.


Mardi 10 juin 2008


9h15-9h40
Jean-Baptiste BELLET

Identification d'une cible dans un milieu fluctuant

(résumé)

14h00-14h25
Gilles-Edouard ESPINOSA

Detection of the maximum

(résumé)

9h45-10h10
Audrey HERMANT

Algorithme d'homotopie en commande optimale
et appplication à la rentrée atmosphérique

(résumé)

14h30-14h55
M'rad Mohamed

Forward Dynamic Utility and Numeraire

(résumé)

10h45-11h10
Iryna PANKRATOVA

On the behaviour at infinity of solutions to stationary
convection-diffusion equation in a cylinder

(résumé)

15h00-15h25
Isabelle CAMILLIER

Modèles dynamiques pour les dérivés de crédit

(résumé)

11h15-11h40
Assalé ADJE

Entre Théorie des Jeux et Analyse Statique de Programmes

(résumé)

16h00-16h25
Arash FAHIM

Probabilistic Numerical Methods for Fully Nonlinear Parabolic PDEs

(résumé)

11h45-12h10
Harry BENSUSAN

Wishart stochastic volatility : Asymptotic smile and numerical framework

(résumé)

16h30-16h55
Carlos JEREZ

Solution des EDP elliptiques pour des structures planes dans $\mathbb{R}^3$

(résumé)


Mercredi 11 juin 2008


9h15-9h40
Guoshen YU

Fast Wavelet-Based Visual Classification

(résumé)

11h15-11h40
Laurent DUVERNET

Estimation du spectre de singularités d'une cascade aléatoire

(résumé)

9h45-10h10
Guillaume SAGNOL

Optimization of Network Traffic Measurement : A Semidefinite Programming Approach

(résumé)

11h45-12h10
Meisam SHARIFY

Location Of The Roots Of a Polynomial By Tropical Techniques

(résumé)

10h45-11h10
Ricardo HEIN HOERNIG

Calcul numérique de la fonction de Green
de l'équation de Helmholtz dans un demi-plan avec une condition
à la limite d'impédance

(résumé)




Résumés des exposés (format pdf ici)

Cette journée a été organisée par
Mohamed M'rad & Iryna Pankratova
Laurent Duvernet & Isabelle Camillier



Identification d'une cible dans un milieu fluctuant

Jean-Baptiste Bellet

Dans un premier temps, je donnerai le contexte et les motivations de mon sujet de thèse. Il s'agit d'une thèse CIFRE, dont une des applications pourrait être la détection de cellules cancéreuses dans le derme. Puis nous verrons que ma thèse comporte deux phases : une phase problème direct, suivie d'une phase problème inverse. La phase directe consiste à  obtenir un modèle de diffusion d'une onde électromagnétique dans le milieu considéré. Nous verrons le modèle initial du milieu, ainsi que le modèle simplifié que l'on souhaite obtenir. J'évoquerai différentes problèmatiques liées à  cette phase : cas périodique, cas aléatoire, homogénéisation, couche mince, etc. Quant à  la phase d'inversion, elle consiste à  élaborer un algorithme d'identifcation de la cible, placée dans le milieu fluctuant, ou, de façon équivalente, dans le milieu simplifié obtenu   la première phase. Pour localiser la cible, on pourra commencer par faire un algorithme de type MUSIC. On devra étudier la résolution de l'algorithme, sa faisabilité, etc. Enfn, j'illustrerai mes propos par des exemples. Je donnerai un aperçu de la théorie de l'homogénéisation en présentant un problème de conductivité dans un milieu périodique. Je donnerai un exemple de couche mince périodique avec le traitement approprié. Je donnerai un exemple de problème inverse, dans le cas d'une équation de Helmholtz, traité avec MUSIC.
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Algorithme d'homotopie en commande optimale
et appplication a la rentree atmospherique


Audrey Hermant

L'algorithme de tir permet de résoudre efficacement des problèmes de commande optimale avec une grande précision. Cependant, son petit domaine de convergence et la nécessité de connaître a priori la structure des contraintes rend son application souvent difficile. Pour pallier ces difficultés des methodes d'homotopie ou continuation peuvent être utilisées. Dans cet exposé, on présente une méthode d'homotopie pour les problèmes de commande optimale avec une contrainte sur l'état d'ordre 1 ou 2. Partant de la solution du problème non contraint, la nouveauté de cette méthode est de gérer automatiquement les changements de structure de la trajectoire et d'initialiser les paramètres de tir associes. Une application de cet algorithme au probleme de la rentrée atmosphérique d'une navette spatiale avec contrainte sur le flux thermique est présentée.
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On the behaviour at infinity of solutions
to stationary convection-diffusion equation in a cylinder


Irina Pankratova

The talk will focuse on the behaviour at infinity of solutions to second order elliptic equation with first order terms in a semi-infinite cylinder. Neumann's boundary condition is imposed on the lateral boundary of the cylinder and Dirichlet condition on its base. Under the assumption that the coefficients stabilize to a periodic regime, we prove the existence of a bounded solution, its stabilization to a constant, and provide necessary and sufficient condition for the uniqueness.
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Entre Théorie des Jeux et Analyse statique de Programmes

Assalé Adjé

De nos jours, l'automatisation de systèmes, en industrie, dans le secteur tertiaire, prend de plus en plus d'importance. Les programmes rendant cette automatisation possible doivent être sûrs et stables, il faut donc les tester, savoir s'ils exécutent sans générer d'erreurs, de dépassements de mémoire ou tout autre problème conduisant à  l'arrêt du programme. Cependant, la combinatoire des programmes analysés empêche le test d'être exhaustif. Comment peut-on tester, vérifier un programme sans l'exécuter et trouver des valeurs pour lesquelles le programme est sûr de s'exécuter sans problèmes? C'est le but de l'analyse statique de programmes par interprétation abstraite introduite par Patrick Cousot, cette méthode permet, entre autres, de déterminer une surapproximation des valeurs possibles prises par les variables du programme à  analyser pour chaque ligne d'exécution. On obtient ainsi ce qu'on appelle un invariant du programme. La méthode classique de calcul est l'itération de Kleene. Ici, on expose une nouvelle technique permettant de calculer cet invariant, il sera obtenu en calculant le point fixe d'une fonctionnelle déduite des équations sémantiques du programme. La théorie des jeux où les problèmes de point fixe sont récurrents (calcul de la valeur d'un jeu, recherche d'équilibres, inclusions différentielles...) peut apporter une solution à  ce problème de point fixe. L'algorithme appelé, algorithme d'itérations sur les politiques, utilisé ici, est un algorithme calculant un point fixe d'une application f croissante de type min-max, ce type d'applications apparaît souvent dans les jeux à  deux joueurs à  somme nulle. L'algorithme calcule un point fixe de f à  partir de plus petit point fixe d'applications plus simples appelées politiques. Toutefois, le point fixe de f trouvé peut ne pas être le plus petit. Même si le problème de l'invariant minimal est indécidable, la minimalité du point fixe de la fonctionnelle déduite des équations sémantiques du programme garantira une surapproximation moins large. La surapproximation obtenue contiendra moins de valeurs qui ne pourraient pas être atteintes par les variables du programme. Dans cette présentation, dans un premier temps, on mettra en évidence le lien entre les jeux stochastiques, en particulier l'opérateur de Shapley, et les équations min-max déduites des équations sémantiques dans le domaine des intervalles. Enfn, on exposera un raffinement de l'algorithme d'itération sur les politiques nous permettant de calculer le plus petit point fixe dans le cas d'une classe d'applications importante en théorie des jeux, les applications croissantes, affines par morceaux et contractantes au sens large.
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Wishart stochastic volatility : Asymptotic smile and numerical framework

Harry Bensusan

In this paper, we study a multi-dimensional model where the volatility follows the trace of a Wishart process presented in [7]. We propose to apply the singular perturbations method introduced by Fouque in many articles [11,12,13] to the Wishart model. Indeed, for stochastic volatility models it is difficult to obtain the smile of the implied volatility, and we need approximation methods. The resulting approximations allow us to find an explicit expression for the asymptotic smile for one scale or two scales of maturities.
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Detection of the maximum

Gilles-Edouard Espinosa

Consider a process oscillating around 0. If we are able to sell it approximately at its maximum before crossing 0 and buy it approximately at its minimum before crossing 0, we have a very interesting trading strategy. Therefore, we try to study how to detect the maximum of an oscillating (for example an Ornstein-Ulhenbeck) process $X$, starting at $x>0$, before it crosses 0. We use the notation $X_t^*=\max_{0\leq u\leq t}X_u$. In order to have a Markov process, given $(x,z)$ with $0 < x \leq z$, we consider the couple $(X_t,Z_t)$ where $X_0=x$ and $Z_t=X_t^*\vee z$ (and so $Z_0=z$).We denote by $T_0=\inf\{t\geq 0, X_t\leq 0\}$ the time of crossing and $\mathcal{T}(T_0)=\{\mbox{stopping times on }[0,T_0]\}$ the set of all stopping times less than $T_0$. Finally, we define the value function of our control problem by : $$V(x,z)=\inf_{\theta \in \mathcal{T}(T_0)}\mathbb{E}[(Z_{T_0}-X_\theta)^2|X_0=x,Z_0=z]$$
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Forward Dynamic Utility and Numeraire

Mohamed M'rad

In this Work we are interested on the forward dynamic utility, introduced by Musiela and Zariphopoulou, we consider an investor starting at time $t=0$ with an initial wealth $x$ and an initial utility function $u(.)$, he invests in the market according to his preferences, more precisely his risk aversion on this market. So, we associate to this investor an utility process which defines the management strategy used by the investor to maximize his expected utility.
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modèles dynamiques pour les dérivés de crédit

Isabelle Camilier

Après un bref aperçu des principaux modèles pour le pricing des CDO, je développerai le cas d'une approche ``bottom-up", où on choisirait de modèliser l'intensité de chacun des noms par une jump-diffusion. Je mentionnerai aussi les enjeux liés à la dimension du problème (typiquement 100 à 125 noms). Pour l'approche considérée dans cet exposé on a besoin de connaître la loi jointe de l'intensité et de son intégrale par rapport au temps. Je parlerai du choix du processus ainsi que des méthodes de résolution envisagées (par EDP, transformée de Laplace).
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Probabilistic Numerical Methods for Fully Nonlinear Parabolic PDEs

Arash Fahim

Up to now there are a few results about fully nonlinear PDEs. We introduce a Monte Carlo method for fully nonlinear parabolic PDEs being inspired by the result of \cite{cstv}. Then we prove that the approximate solution converges to the solution of PDE using \cite{bs} and find the rate of convergence to be $h^{1/4}$ using \cite{bj}. An example shows that in some cases, it could converge at a better rate. \begin{thebibliography}{10} \bibitem{cstv} P. Cheridito, H.M. Soner, N. Touzi, N. Victoir; \newblock ``Second Order Backward Stochastic Differential Equations and Fully Non-Linear Parabolic PDEs'' \newblock Communications on Pure and Applied Mathematics, Volume 60, Issue 7, Date: July 2007, Pages: 1081-1110. \bibitem{bs} G. Barle, P.E. Souganidis; \newblock ``Convergence of Approximation Schemes for Fully Non-linear Second Order Equation'' \newblock Asymptotic Anal., 4, pp. 271--283, 1991. \bibitem{bj} G. Barles, E. R. Jakobsen; \newblock ``Error Bounds For Monotone Approximation Schemes For Parabolic Hamilton-Jacobi-Bellman Equations'' \newblock Math. Comp., 76(240):1861-1893, 2007. \end{thebibliography}
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Solution des EDP elliptiques pour des structures planes dans $\mathbb{R}^3$

Carlos Jerez

On s'intéresse aux problèmes elliptiques pour des structures planes bornées de frontière Lipschitz, caractérisées par de larges rapports entre la longeur et la largeur. L'existence de singularités au bord de tels domaines rend les méthodes numériques classiques faiblement performantes et parfois même inutilisables. On développe un schéma hybride de type Galerkin employant des éléments de frontière de natures differentes en considérant les comportements singuliers sur la surface. On présentera quelques théorèmes sur la solvabilité de tels systèmes ainsi que l'étude d'erreur associée à la méthode introduite. Ensuite, on appliquera cette formulation pour retrouver la distribution de charges électriques dans des milieux piézoélectriques comme par exemple dans les transducteurs à ondes acoustiques de surface ou SAW (Surface Acoustic Waves).
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Fast Wavelet-Based Visual Classification

Guoshen Yu

We introduce a wavelet-based visual classification approach and show some experiments on object recognition, texture and satellite image classification, and language identification.
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A Semidefinite Programming Approach

Guillaume Sagnol

We study the problem of traffic matrix estimation in large IP networks. The problem of inferring the traffic for each (origin - destination) pair in the network from the link measurements has been widely studied over the past 10 years. Recently, the possibility of using network-monitoring tools such as Netflow (Cisco Systems) has renewed the interest for this problem, the aim beeing now to make the best possible use of such tools. Because of its expensive cost of use and deployment, optimizing the set of interfaces on which netflow should be installed (and/or activated)is of first interest. We model the optimal deployment of Netflow in terms of "experimental design", which allows us to use semidefinite and convex programming techniques. The principle is to choose a set of localizations for Netflow that minimizes (in a certain sense) the variance of an estimator for the traffic matrix. We show that this problem is a generalization of the rank-maximization of the under-constrained system, and that the greedy algorithm provides a (polynomial time) approximation of the solution by $(1-1/e)$. We give experimental results on real networks and we show that an approach based on the rounding of a continuous relaxation improves on other approaches, including greedy algorithms.
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Calcul numérique de la fonction de Green de l'équation de Helmholtz dans un demi-plan avec une condition à la limite d'impédance

Ricardo Hein Hoernig

La fonction de Green de l'équation de Helmholtz dans un demi-plan avec une condition à la limite d'impédance est calculée de façon numérique. Un problème de Helmholtz d'impédance dans un demi-plan perturbé de manière compacte est présenté pour motiver ce calcul, qui est traité par des techniques des équations intégrales, menant à une discrétisation d'éléments de frontière. La fonction de Green est calculée en utilisant une transformée de Fourier inverse, appliquant un FFT inverse pour la partie régulière, et enlevant les singularités de façon analytique.
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Estimation du spectre de singularités d'une cascade aléatoire

Laurent Duvernet

Introduite dans le domaine de la turbulence pleinement développée dans les années 1980, l'analyse multifractale a été depuis appliquée notamment en finance ou en modélisation des réseaux internet. Elle a pour objet des signaux dont la régularité localement hoelderienne varie en tout point : alors qu'un mouvement brownien a par exemple une régularité $1/2$ partout, une trajectoire multifractale présente une gamme d'exposants de régularité caractérisée par ce qu'on appelle un spectre de singularités. Un lien peut par ailleurs être établi entre le spectre de singularités et la régularité globale de la trajectoire (au sens de l'appartenance à un espace de Besov). C'est à l'estimation de ce spectre que nous nous intéressons, dans le cadre des processus de cascades aléatoires.
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Location Of The Roots Of a Polynomial By Tropical Techniques

Meisam Sharify

Tropical algebra arises as a limit of a deformation of usual algebra. This limit transforms classical polynomial equations to equations of a combinatorial nature involving polyhedral maps. Such equations can often be solved efficiently and accurately (in exact arithmetics). This suggests that tropical methods may be of interest to improve some classical numerical algorithms, particularly in situations in which the numerical data have several orders of magnitude. As a starting point of my PhD work, I began to revisit from a tropical perspective the resolution of an $n$th degree polynomial equation which is one of the most classical problems in Mathematics. Several algorithms such as Newton method, Weyl's algorithm etc are developed to solve this problem. Consider an $n$th degree polynomial with complex coefficients: $$ p(x) = \sum \limits_{k=0}^n a_k \, x^k. $$ We define the corresponding tropical polynomial as follows: $$ t \, p(x) = \max \limits_{0\leq k \leq n} |a_k|\, x^k. $$ The tropical roots of $p(x)$ are the points $x$ at which the maximum is attained at least twice in $t \, p(x)$. The multiplicity of a tropical root $x$ is defined as the maximum value of $k-l$ for all $k,l$ such that $t\, p(x) = |a_k|\, x^k = |a_l|\, x^l$ . So considering the multiplicity, $p$ has exactly $n$ tropical roots, $a_1 \geq ... \geq a_n$ . We can simply find the $n$ tropical roots of polynomial $p$ by a Newton polygon type construction which can be performed in time $O(n)$ . Tropical roots were already considered by Ostrowski. I will review some old and new results concerning the location of the roots of polynomials, which show that the moduli of the roots of $p$ can be bounded in terms of the tropical roots. These results also show that the numerical problem can be approximately decomposed when the different slopes of the Newton polygon are sufficiently separated. I will present a preliminary algorithmic work, exploiting these ideas and testing a method which may be thought of as a numerical analogue of Puiseux theorem.
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Titre

Pierre Garapon

Assessing biological tissues elasticity is of considerable importance in diagnosis of various pathologies such as breast cancer, liver fibrosis, heart pathologies. Yet, this characteristics of tissues is invisible to classical ultrasounds. One has to propagate shear into the tissues in order to estimate the shear velocity, which is the relevant parameter. We focus on such a situation when an elastic wave field is observed in a soft medium, and one wants to recover the corresponding Young's modulus map. We thus implement an optimization approach. We emphasize both on mathematical analysis and numerical examples the fact that is important to process separately data which correspond to near diffracted field or far propagative field.
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