Nous proposons une méthode de lignes de niveaux pour l'optimisation de formes qui combine, autant que faire se peut, les avantages des méthodes de variation de frontière et d'homogénéisation. Suivant une idée de la méthode d'homogénéisation nous utilisons un maillage fixe qui contient à la fois la forme et les trous (ou le vide) représentés par un matériau très faible. Le bord de la forme est paramétré par une fonction ligne de niveaux suivant le formalisme d'Osher et Sethian. L'optimisation de forme consiste à transporter la fonction ligne de niveaux (c'est-à-dire le bord de la forme) avec une vitesse qui fasse décroître la fonction objectif. Suivant la méthode de variation de frontière nous calculons cette vitesse en dérivant la fonction objectif par rapport à la forme. Nous considérons un modèle mécanique d'élasticité linéarisée en deux ou trois dimensions d'espace et des fonctions objectifs régulières générales (la compliance ou un critère de moindres carrés). |
La méthode des courbes de niveau permet de traiter facilement des variations de topologie. Toutefois, en pratique, elle ne permet pas l'apparition de nouveaux trous à l'intérieur du domaine, au moins en 2d. Pour cette raison nous la complétons avec une autre approche, connue sous le nom de gradient topologique, qui est introduite pour permettre l'apparition de nouveaux trous au cours du processus d'optimisation. Le couplage de ces deux méthodes donne un algorithme efficace qui est capable de s'échapper des minima locaux d'une classe topologique particulière de formes. Les deux méthodes utilisent une notion de gradient calculé à partir d'un état adjoint et sont d'un coût de calcul modéré car elles utilisent un maillage fixe. Le principal avantage de la méthode couplée est d'obtenir des formes à peu près indépendantes de l'initialisation. |