DEA MASE

Université de Paris IX - Dauphine, 1999-2000.

Evaluation par arbitrage

Enseignants:

Rama CONT (CNRS- Ecole Polytechnique)

Daniel GABAY (CNRS - Dauphine)

http://www.cmap.polytechnique.fr/~rama/deamase/

Ce cours est une introduction à la théorie de l'évaluation et de la couverture des produits dérivés. La première partie présente les notions d'arbitrage et de couverture en temps discret. La deuxième partie présente le cadre théorique de l'évaluation par arbitrage en temps continu lorsque les fluctuations économiques sont modélisées par des processus de diffusion. Nous traiterons en détail le modèle de Black-Scholes, d'un point de vue analytique (EDP) et d'un point de vue probabiliste (mesure martingale équivalente). Enfin, nous traiterons des extensions de ces méthodes aux produits dérivés de taux d'intérêt et aux options américaines.

1.

Marchés financiers et produits dérivés. (D. Gabay)

Les sous-jacents: actions, taux de change, obligations et taux d'intérêt.
Produits dérivés: contrats à terme, futures et options.
Exemples d'utilisation des produits dérivés.
La notion de couverture de risque.

2.

Evaluation par arbitrage: le modèle à une période. (D. Gabay)

L'absence d'opportunité d'arbitrage.
Applications: contrats à terme, parité call-put.
Evaluation actuarielle et évaluation par arbitrage.
Le modèle à une période. Stratégie de couverture et évaluation par réplication.
Prix d'Arrow-Debreu et mesures martingales.
Notion de marché complet. Critère de complétude dans un modèle discret.

3.

Evaluation par réplication: l'approche EDP. (R. Cont)

Modèles de diffusion. Filtrations et information.
Stratégie auto-financante. Stratégie de couverture.
L'absence d'opportunité d'arbitrage et ses conséquences.
EDP d'évaluation. Solutions numériques et analytiques.
La formule de Black-Scholes. Volatilité implicite.
Sensibilités: $\Delta, \Gamma, \theta$. Profil local d'une position.

4.

Evaluation risque-neutre: l'approche martingale. (R. Cont)

Représentation de Feynman-Kac. Dynamique risque-neutre.
Interprétation en terme de mesure martingale équivalente. Rôle du numéraire.
Application: évaluation Monte Carlo d'actifs contingents.
Dérivation probabiliste de la formule de Black-Scholes.

5.

Modèles de taux d'intérêt. (R. Cont)

La structure par terme des taux d'intérêt.
Zéro-coupons, taux actuariels, taux forward, LIBOR.
Changement de numéraire et mesure martingale forward.
Modèle de taux court. Modèle de Vasicek.
Modèles de taux forward. Condition de Heath-Jarrow-Morton.
Caps et floors. Swaptions.

6.

Options américaines et exotiques. (D. Gabay)

Options américaines et problêmes d'arrêt optimal.
Inégalités variationnelles et EDP à frontière libre.
Options barrière. Options asiatiques.