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Modélisation d'actifs financiers
avec des processus de Lévy

Rama CONT
Centre de Mathématiques Appliquées
Ecole Polytechnique
E-mail: Rama.Cont@polytechnique.fr

ENSAE - CREST, Février - Mars 2001.

  1. Motivation:
    1. Propriétés statistiques des rendements d'actifs financiers.
    2. Propriétés empiriques des prix d'options. Smile de volatilité.

  2. Processus de Lévy: définition et propriétés.
    1. Définition. Fonction caractéristique.
    2. Procesus de Poisson et Poisson composé.
    3. Représentation de Lévy Khinchine et interprétation.
    4. Propriétés trajectorielles et liens avec la mesure de Lévy: variation finie, activité, moments.

  3. Modèlisation d'un actif financier par l'exponentielle d'un processus de Lévy: exemples et propriétés statistiques.
    1. Lemme d'Ito pour les processus discontinus.
    2. Exponentielle ordinaire et exponentielle de Doléans-Dade.
    3. Processus -stables.
    4. Troncature exponentielle de la mesure de Lévy. Processus stables ``tronqués''
    5. Processus Variance-Gamma.
    6. Processus hyperboliques.
    7. Processus Normal Inverse Gaussien (NIG).
    8. Modèles hyperboliques généralisés.

  4. Modèlisation d'un actif financier par l'exponentielle d'un processus de Lévy: évaluation d'options.

    1. Rappels: évaluation risque neutre et mesures martingales.
    2. Approche risque-neutre: évaluation d'options par tranformée de Fourier.
    3. Transformation d'un processus de Lévy par changement de mesure equivalente.
    4. Evaluation d'options par transformée d'Esscher
    5. Profils de volatilité implicite.

  5. Procesus de Lévy positifs et modèles de volatilité stochastique
    1. Subordinateurs et processus de Levy subordonnés.
    2. Modèles de volatilité stochastique et mouvements Browniens subordonnés.
    3. Processus d'Ornstein Uhlenbeck avec bruit de Lévy.
    4. Modélisation de volatilité avec des processus Ornstein Uhlenbeck positifs.
    5. Exemple: processus d Ornstein Uhlenbeck distribué selon une loi gamma.
    6. Simulation et estimation de parametres.




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Rama Cont 2001-03-25