Résumé

Nous présenterons la méthode dite de Boltzmann sur réseau en expliquant les différentes étapes ayant conduit à la construction de cet algorithme. Nous détaillerons l'algorithme dans un cadre mathématique proposé par D. d'Humière en dimension un d'espace puis en dimension deux sur quelques exemples. Puis nous proposerons différents outils d'analyse de ces schémas de type consistance et stabilité. Une seconde partie sera consacrée aux schémas vectoriels qui permettent de simuler des systèmes conservatifs hyperboliques. Nous ferons le lien avec les schémas de relaxation pour les construire et les étudier.

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À venir.

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Nous exposerons les conditions de bord présentées dans l'article ci-dessous qui permettent de traiter des conditions de bord physique pour les équations de la mécanique des fluides dans les schémas de Boltzmann sur réseau.

Ces conditions de bord consistent à imposer les fonctions de répartition dont les vitesses sont entrantes et généralisent les conditions classiques de rebond ou d'anti-rebond en tenant compte de la géométrie.

Bibliographie

1. M. Bouzidi, M. Firdaouss, P. Lallemand Momentum transfer of a Boltzmann-lattice fluid with boundaries
   Phys. Fluids, 13 (2001), p. 3452
   (lien vers l'article)

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pyLBM est un module Python permettant d’utiliser simplement différentes méthodes de Boltzmann sur réseau avec un formalisme très proche de celui proposé par D. D’Humières en dimension 1, 2 ou 3 d’espace. Il s’appuie sur le package SymPy pour décrire de manière formelle tous les paramètres de la simulation : les vitesses du schéma, les moments sous la forme de polynômes, les valeurs à l’équilibre de ces moments par des fonctions formelles, les conditions aux limites etc. En ce qui concerne le domaine de calcul de la simulation, l’utilisateur peut créer des domaines complexes s’appuyant sur l’union de formes simples telles que des cercles, des triangles ou des parallélogrammes en dimension 2, ou leur équivalent en dimension 3.

Un code est ensuite généré en fonction de ces paramètres physiques et mathématiques. Il existe différents types de générateurs (NumPy, Cython, Loopy) permettant de tirer partie au mieux des performances de la machine. Le code est parallélisé en utilisant mpi4py.

Le logiciel est disponible à l’adresse suivante http://www.math.u-psud.fr/pyLBM.

Dans cette présentation, nous proposons de montrer quelques exemples du plus simple au plus compliqué d’utilisation de ce logiciel en insistant sur les points suivants :

• le formalisme est très proche du formalisme mathématique abstrait (il n’est pas nécessaire de rentrer dans les détails de l’algorithme pour effectuer une simulation),
• la grande variété des modèles physiques que la méthode de Boltzmann sur réseau permet de traiter,
• les outils formels du logiciel pour analyser les propriétés du schéma comme la consistance ou la stabilité.

Transparents de l'exposé (format Jupyter Notebook)

https://github.com/pylbm/talks

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Dans cet exposé on partira d'un schéma de Boltzmann en réseaux que l'on ré-interprétera comme un système de relaxation couplé avec des méthodes numériques particulières. Dan un second temps on utilisera cette écriture alternative pour permettre de prendre des grand pas de temps, de considérer des grilles non régulières et de monter en ordre. Pour finir on s'intéressera à deux applications : les équations d'Euler bas Mach et les problèmes paraboliques.

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Dans l’industrie aéronautique, l’acoustique est un sujet d’intérêt grandissant. Depuis environ 10 ans, les efforts de recherche précédemment concentrés sur la propagation acoustique se sont peu à peu réorientés vers les sources de bruit. Il est en effet plus efficace de réduire le bruit à sa source plutôt que d’en atténuer la propagation. La simulation numérique est au premier plan pour adresser cette problématique aéroacoustique, et parmi les méthodes disponibles, la LBM présente des propriétés particulièrement intéressantes tant sur le plan physique (capacités de capturer les mécanismes d’interaction turbulence / acoustique) que sur le plan informatique (efficacité des algorithmes sur les machines de calcul parallèle). La difficulté est de pouvoir rassembler les compétences de domaines aussi divers que les mathématiques appliqués, l’algorithmique, la mécanique des fluides, l’acoustique et le calcul scientifique. La présentation montrera des applications variées (bruit de train d’atterrissage à l’approche, bruit de sifflement des nacelles au décollage, et d’autres…) sur lesquelles les qualités et les limitations de la LBM seront mis en évidence.