K. L. Trabelsi

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THÈMES DE RECHERCHE

Optimisation de formes

Durant mon passage à l'Ecole Polytechnique, j'ai commencé à travailler sur des problèmes d'optimisation de formes en collaboration avec O. Pantz. Dans un premier temps, nous avons produit une méthode trois-en-un qui est essentiellement un algorithme alternant optimisation géométrique, optimisation par la méthode d'homogénéisation et optimisation topologique dans le cadre de la minimisation de la compliance. Les simulations numériques ont été menées sous freefem++ et ont donné des résultats comparables à ceux obtenus par la méthode de l'homogénéisation suivie d'une pénalisation de le densité de matière ou par la méthode de la variation de la frontière couplée avec de l'optimisation topologique.

Actuellement nous mettons au point une méthode de projection de formes composites qui est très performante (rapide + efficace). L'idée de base nous a été soufflée par notre algorithme précédent qui semblait vouloir reproduire la forme composite des laminés à l'échelle macroscopique. Nous espérons appliquer cette approche, entre autres, pour la conception de mécanismes compliants.
  

Nous nous intéressons également à l'optimisation de formes pour la minimisation de la compliance en formulation mixte, l'idée étant de mieux approcher la "vraie" compliance numériquement.

Modélisation de structures minces

Je m'intéresse à la modélisation des structures minces en mécanique des solides et plus précisément au passage 3d-2d en élasticité non linéaire; ce travail a occupé toute ma thèse. Dans ce cadre, j'ai obtenu des résultats de réduction de dimension pour des structures minces non linéairement élastiques pour des matériaux dont l'énergie est singulière. Plus précisément, la méthode formelle développée par O. Pantz a permis l'obtention de deux modèles bidimensionnels de plaques minces, l'un membranaire et l'autre inextensionnel, pour une classe de matériaux de type Ogden (densité d'énergie polyconvexe) dont la densité d'énergie tend vers l'infini lorsque le déterminant du gradient de la déformation tend vers zéro c'est-à-dire qu'une énergie infinie est nécessaire pour réduire un volume en un point. Cette dernière propriété, bien que physiquement obligatoire, n'est en général pas vérifiée par les matériaux soumis en général à ce type d'analyse asymptotique dans la littérature. Remarquons que le modèle bidimensionnel membranaire ainsi obtenu est nouveau.

Ensuite, j'ai obtenu un modèle bidimensionnel de membrane non linéairement élastique pour un matériau incompressible ad hoc (sa densité d'énergie est infinie là où le déterminant du gradient de la déformation est différent de 1) par des arguments rigoureux de Gamma-convergence notamment grâce à un résultat de relaxation de fonctionnelles singulières assez méconnu dû à H. Ben Belgacem en 1999. C'est la première fois qu'une membrane incompressible est modélisée de façon rigoureuse à partir de l'élasticité nonlinéaire tridimensionnelle.

J'ai, par ailleurs, démontré un résultat de non existence de solutions pour le problème de minimisation associé à l'équilibre d'une membrane plane comprimée sur son bord par une méthode directe.

Optimisation numérique de modèles physiques avec amortissements réalistes

Ce thème a été développé durant mon post-doc à Télecom Paris. Il est le fruit d'une collaboration avec Th. Hélie et D. Matignon. Le contexte de ce travail est la synthèse sonore en temps réel. Il s'agit de calculer des réponses impulsionnelles de fonctions de transfert non standard (réalistes, p.e. Webster-Lokshin qui modélise les pertes visco-thermiques dans un pavillon) i.e. comportant des singularités (pôles, points de branchement, coupures...) dans le demi-plan (complexe) gauche de Laplace; cela donne lieu à des système certes stables mais à mémoire longue (la décroissance en temps n'est pas purement exponentielle). Ces calculs se font par l'intégrale de Bromwich (transformée inverse de Laplace) en l'approchant par un modèle de dimension finie. Il est à noter que cette intégrale est a priori très oscillante donc difficile à approcher. De plus, le but étant le calcul en temps réel, la méthode se doit d'être peu coûteuse. En vue de l'élaboration d'un algorithme efficace, nous avons commencé par comparer deux méthodes.

La première est du type quadratures de Talbot. Elle consiste à déformer la droite de Bromwich en un contour qui équilibrerait les oscillations et la décroissance exponentielle en commençant et se terminant dans le demi-plan gauche avec une partie réelle allant à l'infini. Pour que cela soit possible, on doit pouvoir enfermer les singularités dans un secteur à gauche. Lorsque que le contour est paramétré, il est optimisé pour une approximation par la méthode des trapèzes sur un intervalle de temps fini grâce à des estimations d'erreur qui garantisse le taux de convergence.

La deuxième approche consiste à établir des représentations intégrales sur les coupures (que l'on peut voir comme des limites de contours de Bromwich). Ensuite, celle-ci sont approchées par des systèmes de dimension finie à poids qui sont définis à partir d'une heuristique de diagramme de Bode pour déterminer la plage fréquentielle utile (celle qui capte la dynamique du système). Enfin, un critère des moindres carrés optimise ces systèmes avec un design qui tient compte de critères psychoacoustiques (performance audio, échelle humaine logarithmique...). Cette méthode est stable pour tout temps.