Modèle de Laplace : un plateau de minimiseurs pour \(n\) pair, un seul pour \(n\) impair
Dans le modèle de Laplace, de densité \(\tfrac12\exp(-|x - \theta|)\), maximiser la vraisemblance revient à minimiser \(\varphi(\vartheta) = \sum_{i=1}^n |X_i - \vartheta|\), fonction continue, convexe et affine par morceaux. Deux échantillons de la même loi sont représentés côte à côte : l'un de taille paire, l'autre de taille impaire, formé des mêmes observations plus une. On déplace \(\vartheta\) et on lit \(\varphi(\vartheta)\) ainsi que la pente de \(\varphi\) : pour \(n\) pair, \(\varphi\) est constante sur tout un intervalle, et chacun de ses points est un estimateur du maximum de vraisemblance ; pour \(n\) impair, le minimiseur est unique.
anim-s2-laplace-emv\(n = \) observations (pair)
\(\varphi(\vartheta) = \sum_{i=1}^n |X_i - \vartheta|\) ; les observations sont les traits sur l'axe.
\(n = \) observations (impair) : les mêmes, plus une
La même fonction \(\varphi\), calculée sur l'échantillon de gauche auquel on ajoute l'observation \(X_{n+1}\).
Un clic ou un glissement sur l'un des deux graphiques déplace \(\vartheta\) ; \(k\) désigne le nombre d'observations strictement inférieures à \(\vartheta\).
Pour \(n = 2m\) (ici \(m = \) ) : sur l'intervalle \([X_{m:n}, X_{m+1:n}]\), \(m\) observations sont à gauche de \(\vartheta\) et \(m\) à droite, la pente \(2k - n\) est nulle et \(\varphi\) y est constante, égale à son minimum . Tout point de cet intervalle est un estimateur du maximum de vraisemblance ; la médiane empirique \(\tfrac12(X_{m:n} + X_{m+1:n}) = \) en est un parmi d'autres.
Pour \(n = 2m + 1\) : la pente vaut \(-1\) juste à gauche de \(X_{m+1:n}\) et \(+1\) juste à droite, si bien que \(\varphi\) n'a qu'un seul minimiseur, la médiane empirique \(X_{m+1:n} = \) . L'observation ajoutée, \(X_{n+1} = \) , suffit à supprimer le plateau.
On illustre ici la non-unicité du maximum de vraisemblance du modèle de Laplace : la fonction à minimiser, \(\varphi(\vartheta) = \sum_i |X_i - \vartheta|\), a une pente \(2k - n\) constante par morceaux, qui s'annule sur tout un intervalle quand \(n\) est pair et une seule fois quand \(n\) est impair. La médiane empirique, solution dans les deux cas, apparaît ailleurs comme \(Z\)-estimateur et comme \(M\)-estimateur. Voir l'exemple « Modèle de Laplace : non-unicité du maximum de vraisemblance ».