Deux estimateurs des moments pour le modèle exponentiel : lequel retenir ?
On compare ici deux façons d'estimer le paramètre \(\theta^\star\) d'une loi exponentielle à partir d'un échantillon \(X_1,\dots,X_n\) : deux estimateurs des moments, l'un construit sur la moyenne empirique, l'autre sur le moment d'ordre deux. Un seul tirage ne permet pas de les départager ; c'est la loi de l'écart à \(\theta^\star\), sur un grand nombre de répétitions, qui le permet.
Les deux estimateurs, pour \(\theta^\star = 1\)
\[ \hat\theta_{n,1} = \frac{1}{\bar X_n} \eqsp, \qquad \hat\theta_{n,2} = \left(\frac{2}{n^{-1}\sum_{i=1}^n X_i^2}\right)^{1/2} \eqsp, \] construits respectivement sur le moment d'ordre un et sur le moment d'ordre deux.
Comparer \(\hat\theta_{n,1}\) et \(\hat\theta_{n,2}\)
Étape 1 — un échantillon
Tirer \(n\) observations indépendantes de loi \(\expo(1)\).
Étape 2 — les deux estimateurs
Sur cet échantillon, \(\hat\theta_{n,1}\) et \(\hat\theta_{n,2}\) valent :
Lequel des deux vous paraît le meilleur ?
Étape 3 — la suite
Que souhaitez-vous faire pour comparer plus sérieusement les deux estimateurs ?
Étape 4 — répéter l'expérience
On garde \(n\) fixé et l'on répète \(m\) fois le tirage d'un échantillon, ce qui donne \(m\) valeurs de chaque estimateur. Choisissez le nombre de répétitions.
Comment regarder ces \(m\) valeurs ?
Étape 5 — la vitesse de convergence
L'écart entre les deux estimateurs dépend-il de \(n\) ? Tracer l'erreur quadratique moyenne de chacun en fonction de \(n\) permet de le voir.
Quand \(n\) croît, l'erreur quadratique moyenne décroît-elle à la même vitesse pour les deux estimateurs ?
Lequel des deux retenir ?
Aucune donnée pour l'instant
Simuler des données pour faire apparaître l'échantillon.
On illustre ici pourquoi comparer deux estimateurs demande de comparer leurs lois, non un seul tirage : l'erreur quadratique moyenne de \(\hat\theta_{n,1}\) se calcule exactement à l'aide des lois Gamma, tandis que celle de \(\hat\theta_{n,2}\) est estimée ici par sa version empirique sur \(m\) répétitions. Voir Méthode des moments — Modèle exponentiel : deux estimateurs et la version libre de cette comparaison.