Loi uniforme sur \([a,b]\) : l'intervalle des moments laisse des observations dehors, celui du maximum de vraisemblance jamais
Sur un échantillon \(X_1, \ldots, X_n\) de la loi uniforme sur \([a,b]\), la méthode des moments, appliquée aux fonctions \(T(x) = x\) et \(\tilde T(x) = x^2\), donne l'intervalle \([\hat a_{n,\mathrm{MM}}, \hat b_{n,\mathrm{MM}}]\) avec \(\hat a_{n,\mathrm{MM}} = \bar X_n - \sqrt{3V_n}\) et \(\hat b_{n,\mathrm{MM}} = \bar X_n + \sqrt{3V_n}\) ; le maximum de vraisemblance donne \(\hat a_{n,\mathrm{MV}} = X_{1:n}\) et \(\hat b_{n,\mathrm{MV}} = X_{n:n}\). Le premier n'utilise que les deux premiers moments empiriques et ne tient pas compte de la contrainte \(a \le X_i \le b\) : il laisse souvent des observations à l'extérieur, et cela ne disparaît pas quand \(n\) grandit. Le second est toujours à l'intérieur de \([a,b]\), donc biaisé, mais bien plus concentré.
anim-s2-uniforme-moments-vs-mvL'échantillon et les deux intervalles estimés
Observations tirées sous la loi uniforme sur \([a,b]\), avec \(V_n = n^{-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar X_n)^2\) ; celles qui sont hors de l'intervalle des moments sont mises en évidence.
Les mêmes estimateurs sur 2 000 répétitions
On refait 2 000 fois le tirage d'un échantillon de taille \(n\) sous la même loi et l'on regarde la loi des estimateurs obtenus, à comparer aux vraies bornes \(a\) et \(b\).
Aucun intervalle n'est encore calculé : seuls les observations et le vrai intervalle \([a,b]\) sont représentés.
Sur cet échantillon, le nombre d'observations hors de \([\hat a_{n,\mathrm{MM}}, \hat b_{n,\mathrm{MM}}]\) est . Sur les 2 000 répétitions, \(\hat a_{n,\mathrm{MM}}\) se répartit de part et d'autre de \(a\) : l'estimateur est presque sans biais, mais sa dispersion reste d'ordre \(1/\sqrt n\).
L'intervalle \([\hat a_{n,\mathrm{MV}}, \hat b_{n,\mathrm{MV}}]\) contient toutes les observations par construction et reste dans \([a,b]\) : \(\hat a_{n,\mathrm{MV}}\) est toujours au-dessus de \(a\), donc biaisé, mais son écart à \(a\) est d'ordre \(1/n\), et son erreur quadratique moyenne devient bien plus petite que celle de l'estimateur des moments. Les calculs détaillés seront effectués en petite classe.