Optimisation et analyse numérique.

MAP 431

(G. Allaire)

Programme des cours en amphithéatre (année 2012)

Amphi 1 du 31/01 (Pierre-Louis Lions): Chapitre I

Section 1.1

Section 1.2: Modélisation de la conduction thermique.

Section 1.4: Calcul numérique par différences finies.

Section 1.5: Notion de problème bien posé.

Mots clés: modélisation, équation aux dérivées partielles, schéma numérique, condition de stabilité CFL, décentrement.

Les transparents du premier amphi (en pdf): amphi1.pdf

Amphi 2 du 07/02 (Pierre-Louis Lions): Chapitre II (début)

Section 2.1

Section 2.2 (début): Différences finies pour l'équation de la chaleur. Exemples, consistance, précision, stabilité (analyse de Fourier et principe du maximum), convergence (théorème 2.2.20 de Lax).

Mots clés: schéma explicite ou implicite, ordre d'un schéma, condition de stabilité CFL.

Amphi 3 du 14/02 (Pierre-Louis Lions): Chapitre II (fin)

Section 2.2 (suite): schémas multiniveaux, schémas multidimensionnels.

Section 2.3: équation d'advection.

Mots clés: condition de stabilité de Von Neumann, schéma diffusif ou dispersif, équation équivalente, schéma décentré.

Amphi 4 du 28/02 (Pierre-Louis Lions): Chapitre III

Section 3.1: solutions classiques d'équations aux dérivées partielles.

Section 3.2: formules de Green, formulation variationnelle.

Section 3.3: théorème 3.3.1 de Lax-Milgram.

Mots clés: formulation variationnelle, théorème de Lax-Milgram.

Amphi 5 du 06/03 (Pierre-Louis Lions): Chapitre IV

Section 4.1

Section 4.2: dérivation faible (Définition 4.2.3, Lemme 4.2.4).

Section 4.3: espaces de Sobolev (Définitions 4.3.1 et 4.3.7, Propositions 4.3.2 et 4.3.9), densité des fonctions régulières (Théorème 4.3.5), inégalité de Poincaré (Proposition 4.3.10, Corollaire 4.3.12), traces et formules de Green (Théorèmes 4.3.13, 4.3.15 et 4.3.30, Corollaire 4.3.16), théorème de compacité de Rellich (Théorème 4.3.21).

Mots clés: Sobolev, Poincaré, traces, Rellich.

Amphi 6 du 13/03 (Pierre-Louis Lions): Chapitre V (début)

Section 5.1

Section 5.2 (début): résolution du Laplacien avec condition aux limites de Dirichlet ou de Neumann, minimisation d'une énergie, cas des coefficients variables.

Mots clés: solution faible ou variationnelle.

Amphi 7 du 20/03 (François Alouges): Chapitre V (fin)

Section 5.2 (fin): propriétés qualitatives, principe du maximum, régularité des solutions, exemple de singularité.

Section 5.3: système de l'élasticité linéarisée, équations de Stokes.

Mots clés: solution faible ou variationnelle.

Amphi 8 du 27/03 (François Alouges): Chapitre VI (début)

Section 6.1: approximation variationnelle interne, lemme de Céa.

Section 6.2: éléments finis en dimension 1, résolution pratique, convergence et estimation d'erreur.

Mots clés: matrice de rigidité, éléments finis P1 et P2 de Lagrange, interpolation, ordre de convergence.

Amphi 9 du 03/04 (François Alouges): Chapitre VI (fin)

Section 6.3: éléments finis en dimension N>1, convergence et estimation d'erreur.

Section 6.4: résolution de systèmes linéaires, méthodes directes et itératives.

Mots clés: maillage, éléments finis triangulaires ou quadrangulaires, systèmes linéaires.

Les transparents du neuvième amphi sur les éléments finis (en pdf): amphief.pdf

Amphi 10 du 10/04 (François Alouges): Chapitre VII

Section 7.1: exemples de problème aux valeurs propres.

Section 7.3: valeurs propres du Laplacien.

Section 7.4: méthodes numériques.

Mots clés: valeurs propres et fonctions (modes) propres, matrice de masse, méthode de la puissance.

Amphi 11 du 15/05 (François Alouges): Chapitre VIII (début)

Section 8.1: exemples de problèmes d'évolution.

Section 8.2: existence et unicité pour l'équation de la chaleur.

Section 8.3: existence et unicité pour l'équation des ondes.

Mots clés: décomposition spectrale, estimation d'energie.

Amphi 12 du 22/05 (François Alouges): Chapitre VIII (fin)

Section 8.4: propriétés qualitatives pour la chaleur: principe du maximum, effet régularisant.

Section 8.5: propriétés qualitatives pour les ondes: réversibilité, conservation de l'énergie.

Section 8.6: méthodes numériques pour la chaleur.

Section 8.7: méthodes numériques pour les ondes.

Mots clés: vitesse de propagation, schémas numériques, condition CFL de stabilité.

Amphi 13 du 29/05 (Grégoire Allaire): Chapitre IX

Section 9.1: exemples de problèmes d'optimisation.

Section 9.2: théorie d'existence en dimension infinie, analyse convexe.

Mots clés: convexité, forte convexité, minimisation.

Amphi 14 du 05/06 (Grégoire Allaire): Chapitre X (début)

Section 10.1: notions de différentiabilité.

Mots clés: contraintes convexes.

Amphi 15 du 12/06 (Grégoire Allaire): Chapitre X (suite)

Section 10.2: conditions d'optimalité, inéquation d'Euler, multiplicateurs de Lagrange.

Mots clés: contraintes d'égalité, contraintes d'inégalité.

Amphi 16 du 19/06 (Grégoire Allaire): Chapitre X (suite)

Section 10.3: point selle, théorème de Kuhn et Tucker, dualité.

Mots clés: dualité, lagrangien, point selle.

Amphi 17 du 26/06 (Grégoire Allaire): Chapitre X (fin)

Section 10.5: méthodes numériques d'optimisation, algorithmes de gradient et de Newton, cas avec et sans contraintes.

Mots clés: gradient à pas fixe ou optimal, méthode de Newton, algorithme d'Uzawa.

Amphi 18 du 03/07 (Grégoire Allaire): Chapitre XI

Section 11.1

Section 11.2: programmation linéaire.

Mots clés: problèmes primal et dual, algorithme du simplexe.