Visualiser la censure : la loi de \(X^* = \min(X, \tau)\)

On observe \(X^* = \min(X, \tau)\) pour \(X \sim \expo(\lambda)\) : toute la masse de la loi située au-delà de \(\tau\) est concentrée en un atome en \(\tau\). La loi censurée n'a donc pas de densité par rapport à la mesure de Lebesgue, mais elle en a une par rapport à \(\lleb + \delta_\tau\).

anim-s1-censure

Intensité \(\lambda\) —

Horizon de censure \(\tau\) —

Nombre d'observations \(n\) —

masse observée en \(\tau\)

—

masse théorique \(\PP(X \ge \tau) = \rme^{-\lambda\tau}\)

—

Histogramme de \(X^* = \min(X, \tau)\)

Lorsque \(\tau\) diminue, l'atome (barre orange) grossit : toute la queue de la loi au-delà de \(\tau\) s'y accumule. La largeur de cette barre est arbitraire ; son aire est égale à la proportion d'observations censurées.

partie continue (\(X < \tau\)), histogramme normalisé atome en \(\tau\) (proportion censurée) densité \(\lambda\rme^{-\lambda x}\) de \(X\) (pointillés)

Dans le poly : Compléments §3 — Données censurées (et la vraisemblance censurée au chapitre 2). La densité par rapport à \(\lleb + \delta_\tau\) s'écrit \(q(x) = \lambda\rme^{-\lambda x}\,\indi{\{x<\tau\}} + \rme^{-\lambda\tau}\,\indi{\{x=\tau\}}\).