Projeter une gaussienne sur deux directions orthogonales
Un vecteur gaussien centré \(X\) est projeté sur une base orthonormée \((u_\theta, u_\theta^\perp)\) que vous faites tourner. À gauche, le nuage et la base ; à droite, le couple des coordonnées \((\langle X,u_\theta\rangle, \langle X,u_\theta^\perp\rangle)\) avec l'histogramme et la densité de chacune de ses marginales. Pour \(\Sigma = \Id_2\), les deux coordonnées sont indépendantes quelle que soit l'orientation : c'est le cœur du théorème de Cochran. Sinon, elles ne le sont que pour des orientations particulières.
anim-s1-cochran-projectionLe nuage \(X \sim \gauss(0,\Sigma)\) et la base \((u_\theta, u_\theta^\perp)\)
Faites glisser la souris sur le nuage pour faire tourner la base ; le point \(X_1\) et ses deux projections sont mis en évidence.
Le couple \((\langle X,u_\theta\rangle, \langle X,u_\theta^\perp\rangle)\) et ses marginales
Le terme hors diagonale, \(u_\theta^\top\Sigma u_\theta^\perp\) (en bleu), est nul si et seulement si les deux coordonnées sont indépendantes.
Pour \(\Sigma = \Id_2\), le nuage est invariant par rotation : \(R_\theta^\top\Sigma R_\theta = \Id_2\) pour tout \(\theta\), les ellipses de niveau restent des cercles et les deux coordonnées sont indépendantes quelle que soit l'orientation de la base.
Pour \(\Sigma = \operatorname{diag}(1, 1/4)\), le terme hors diagonale vaut \(\tfrac34\cos\theta\sin\theta\) : il ne s'annule que pour \(\theta = 0^\circ\) ou \(90^\circ\), lorsque \(u_\theta\) et \(u_\theta^\perp\) sont les vecteurs propres de \(\Sigma\). Pour toute autre orientation, les ellipses sont inclinées et les coordonnées sont corrélées, donc dépendantes.
Pour \(\Sigma = \begin{pmatrix}1&0{,}7\\0{,}7&1\end{pmatrix}\), les vecteurs propres sont les bissectrices : le terme hors diagonale ne s'annule que pour \(\theta = 45^\circ\) ou \(135^\circ\). Pour toute autre orientation, les ellipses sont inclinées et les coordonnées sont corrélées, donc dépendantes.
Dans le poly : Bases de maths — Théorèmes de Cochran et de Gosset. Avec \(F = \rset u_\theta\), on a \(P_F X = \langle X, u_\theta\rangle\, u_\theta\) et \(P_{F^\perp} X = \langle X, u_\theta^\perp\rangle\, u_\theta^\perp\) ; pour \(X\sim\gauss(0,\Id_2)\), le théorème de Cochran affirme que ces deux projections sont indépendantes, de lois \(\gauss(0, P_F)\) et \(\gauss(0, P_{F^\perp})\), et que \(\|P_F X\|^2\) et \(\|P_{F^\perp} X\|^2\) suivent des lois \(\chi^2(1)\) indépendantes. Dans la base \(R_\theta = (u_\theta\ u_\theta^\perp)\), le couple des coordonnées est \(R_\theta^\top X \sim \gauss(0, R_\theta^\top\Sigma R_\theta)\) : ses marginales sont gaussiennes, de variances \(u_\theta^\top\Sigma u_\theta\) et \(u_\theta^{\perp\top}\Sigma u_\theta^\perp\), et un couple gaussien est à coordonnées indépendantes si et seulement si sa covariance \(u_\theta^\top\Sigma u_\theta^\perp\) est nulle, autrement dit si les ellipses de niveau ont leurs axes portés par les axes du repère. Pour \(\Sigma = \sigma^2\Id_2\) c'est le cas pour tout \(\theta\) ; sinon, seulement lorsque la base est formée de vecteurs propres de \(\Sigma\).