Deux estimateurs des moments pour la loi exponentielle \(\expo(\theta)\)

Pour un \(n\)-échantillon de loi \(\expo(\theta)\), les fonctions \(T(x) = x\) et \(\tilde T(x) = x^2\) conduisent à deux estimateurs des moments distincts : \(\hat\theta_1 = 1/\bar X_n\), obtenu à partir de \(\PE_\theta[X_1] = 1/\theta\), et \(\hat\theta_2 = \bigl(2/(n^{-1}\sum_{i=1}^n X_i^2)\bigr)^{1/2}\), obtenu à partir de \(\PE_\theta[X_1^2] = 2/\theta^2\). On répète 1 500 fois le tirage de l'échantillon et l'on compare, au moyen de boxplots, la dispersion des deux estimateurs autour de \(\theta\).

anim-s1-estimateurs-expo

Paramètre \(\theta\) —

Taille de l'échantillon \(n\) —

biais empirique de \(\hat\theta_1\)

—

biais théorique de \(\hat\theta_1\) : \(\theta/(n-1)\)

—

EQM empirique de \(\hat\theta_1\)

—

EQM empirique de \(\hat\theta_2\)

—

Boxplots de 1 500 réalisations de chaque estimateur

Ici \(\theta = \) et \(n = \) ; la ligne pointillée marque la valeur de \(\theta\). Pour \(n\) petit, \(\hat\theta_1\) est biaisé vers le haut : \(\PE_\theta[\hat\theta_1] = n\theta/(n-1)\).

\(\hat\theta_1 = 1/\bar X_n\) (moment d'ordre 1) \(\hat\theta_2 = \bigl(2/(n^{-1}\sum_{i=1}^n X_i^2)\bigr)^{1/2}\) (moment d'ordre 2) \(\theta\)

Dans le poly : Compléments §5 pour la figure du cours, et le chapitre 2 (Outils mathématiques) pour le calcul exact, fondé sur la loi Gamma de \(\sum_{i=1}^n X_i\) : \(\PE_\theta[\hat\theta_1] = n\theta/(n-1)\) et \(\PE_\theta[(\hat\theta_1 - \theta)^2] = (n+2)\,\theta^2/((n-1)(n-2))\).