Théorème de Gosset : \(\bar X_n\) et \(S_n^2\) sont indépendants, et \(T\) suit une loi de Student

On répète 3 000 fois le tirage d'un \(n\)-échantillon, et l'on trace le couple \((\bar X_n, S_n^2)\) obtenu à chaque répétition ainsi que l'histogramme de \(T = \sqrt{n}\,(\bar X_n - \mu)/S_n\). Pour des observations gaussiennes, le nuage ne montre aucune structure et \(T\) suit exactement une loi de Student à \(n - 1\) degrés de liberté ; pour d'autres lois, l'indépendance et la loi de Student sont perdues, surtout pour \(n\) petit.

anim-s1-gosset-student

Taille de l'échantillon \(n\) —

Loi des observations (centrée, réduite)

Le couple \((\bar X_n, S_n^2)\) sur 3 000 répétitions

Observations , \(n = \) ; chaque point est un échantillon.

corrélation entre \(\bar X_n\) et \(S_n^2\)

moyenne de \(S_n^2\) (théorie : \(\sigma^2 = 1\))

variance de \(\bar X_n\) (théorie : \(1/n\))

La statistique \(T = \sqrt{n}\,(\bar X_n - \mu)/S_n\)

Histogramme des 3 000 valeurs de \(T\), densité de Student à degrés de liberté et densité de \(\gauss(0,1)\).

valeurs simulées de \(T\) densité de Student\((n-1)\) densité de \(\gauss(0,1)\) (pointillés)

\(|T| > 1{,}96\) (simulé)

sous Student\((n-1)\)

sous \(\gauss(0,1)\)

5,0 %

Dans le poly : Bases de maths — Théorème de Gosset, démontré à partir du théorème de Cochran avec \(F = \rset\bigone_n\). Ici \(\mu = 0\) et \(\sigma^2 = 1\) pour les trois lois ; l'exponentielle est recentrée (\(X = E - 1\)) et l'uniforme est prise sur \([-\sqrt3, \sqrt3]\). La loi de Student a des queues plus lourdes que la loi normale : pour \(n = 5\), la probabilité que \(|T|\) dépasse \(1{,}96\) vaut environ 12 % au lieu de 5 %.