Réponses randomisées : loi de l'estimateur \(\hat\theta_n\)
On répète 2 000 fois le protocole des réponses randomisées : \(n\) participants, dont la vraie proportion de « oui » est \(\theta^*\), donnent chacun leur vraie réponse avec probabilité \(q\) et la réponse opposée avec probabilité \(1-q\). L'histogramme montre la loi de l'estimateur \(\hat\theta_n = \dfrac{\overline{\mathrm{RR}}_n - (1-q)}{2q-1}\), où \(\overline{\mathrm{RR}}_n\) est la proportion de « oui » observée : il est sans biais, mais sa variance explose lorsque \(q\) tend vers \(1/2\).
anim-s1-reponses-randomiseesLoi de l'estimateur \(\hat\theta_n\) sur 2 000 répétitions
La ligne pointillée marque \(\theta^*\). Lorsque \(q\) se rapproche de \(1/2\), l'histogramme s'étale, jusqu'à déborder de \([0,1]\), tandis que son centre reste en \(\theta^*\).
Dans le poly : Cours §8 — Premiers estimateurs. Chaque participant tire \(U_i \sim \ber(q)\) et répond \(\mathrm{RR}_i = U_i X_i + (1-U_i)(1-X_i)\), de sorte que \(\PP_\theta(\mathrm{RR}_i = 1) = r\) avec \(r = \theta q + (1-\theta)(1-q)\). L'écart-type théorique de \(\hat\theta_n\) vaut \(\sqrt{\Var_\theta(\hat\theta_n)} = \dfrac{\sqrt{r(1-r)/n}}{|2q-1|}\) : le facteur \(1/|2q-1|\) est le prix de la confidentialité.