Densité d'un vecteur gaussien de \(\rset^2\)

La densité de \(\gauss(0, \Sigma)\) est tracée pour la matrice de covariance \(\Sigma\) que vous choisissez, en carte de densité ou en surface. Ses courbes de niveau sont des ellipses centrées en \(0\), dont les axes sont portés par les vecteurs propres de \(\Sigma\) ; le nuage de points est simulé par \(X = AZ\) avec \(AA^\top = \Sigma\) et \(Z \sim \gauss(0, \Id_2)\).

anim-s1-vecteur-gaussien-densite

\(\sigma_1^2 = \Var(X^{(1)})\) —

\(\sigma_2^2 = \Var(X^{(2)})\) —

\(\rho\) (corrélation entre \(X^{(1)}\) et \(X^{(2)}\)) —

Matrice de covariance

\(\Sigma = \begin{pmatrix}\sigma_1^2 & \rho\,\sigma_1\sigma_2\\ \rho\,\sigma_1\sigma_2 & \sigma_2^2\end{pmatrix} = \)

Nombre de points simulés —

Densité, ellipses de niveau et échantillon simulé

\(X \sim \gauss(0, \Sigma)\) ; la densité vaut en \(0\).

densité (plus foncé = plus dense ; en 3D, hauteur de la surface) ellipses de niveau de \(\Sigma\) contenant 39 %, 86 % et 99 % de la masse axes principaux (vecteurs propres de \(\Sigma\)) et points simulés

Estimer \(\Sigma\) à partir de l'échantillon

On peut estimer \(\Sigma\) à partir des points simulés.

Utiliser l'échantillon pour estimer la matrice de covariance (moyenne connue, égale à \((0, 0)\))

Dans le poly : Bases de maths — Vecteurs gaussiens. Une ellipse de niveau est l'ensemble des \(x\) tels que \(x^\top\Sigma^{-1}x = c^2\) ; elle contient une proportion \(1 - \rme^{-c^2/2}\) de la masse, et ses demi-axes valent \(c\sqrt{\lambda_1}\) et \(c\sqrt{\lambda_2}\), où \(\lambda_1, \lambda_2\) sont les valeurs propres de \(\Sigma\). La surface en 3D est le graphe de la densité \(x \mapsto (2\pi)^{-1}(\det\Sigma)^{-1/2}\exp(-\tfrac12 x^\top\Sigma^{-1}x)\) ; ses sections horizontales sont les ellipses de niveau. Quand \(\rho\) tend vers \(\pm 1\), \(\Sigma\) devient singulière et la loi se concentre sur une droite : c'est le cas dégénéré, admis dans la définition des vecteurs gaussiens mais sans densité. L'estimateur \(\hat\Sigma = n^{-1}\sum_i X_iX_i^\top\) utilise le fait que la moyenne est connue.