Les semianneaux dont l'addition est idempotente (comme le semianneau dit ``(max,+)'' ou le semianneau , dit ``tropical'') ont été introduits indépendamment par diverses communautés.
En Automatique, ils interviennent principalement, d'une part, comme outil pour la modélisation, l'analyse, l'évaluation de performance et la synthèse de lois de commande pour des classes bien répertoriées de systèmes à événements discrets déterministes ou stochastiques (ateliers flexibles, réseaux de transport, systèmes multi-processeur, etc.), d'autre part comme un formalisme algébrique pour la commande optimale et l'optimisation des systèmes.
En Informatique Théorique, le semianneau tropical a joué un rôle clé dans la résolution de problèmes classiques en théorie des langages et des automates (problèmes de décision, mesure de la complexité non-déterministe des automates). Il continue a faire l'objet de travaux très actifs.
Ces algèbres exotiques sont aussi apparues naturellement dans le calcul de certaines asymptotiques: détermination de la phase quasi-classique de l'équation de Schrödinger, asymptotiques à température nulle en mécanique statistique, grandes déviations. On aboutit alors à des problèmes de commande optimale ou d'optimisation du type de ceux traités en Automatique, et qui relèvent d'une même théorie de l'Analyse Idempotente.
Ainsi, les motivations qui ont conduit et conduisent aujourd'hui au développement de ces algèbres sont d'une part académiques (il s'agit souvent de questions mathématiques de base) et d'autre part de nature appliquée: il s'agit de fournir des modèles simples et des algorithmes pour des systèmes à événements discrets (et plus généralement pour certaines classes de systèmes dynamiques non-linéaires) qui résistent aux méthodes classiques d'analyse. Les principaux domaines d'application passés et présents sont les systèmes de production, les réseaux de transport et les réseaux informatiques, l'informatique temps réel et distribuée. Ces algèbres sont l'outil naturel pour l'évaluation de performance: calcul de débit dans les réseaux, de taux de production dans les ateliers, détermination de conditions de stabilité, i.e. de bornitude des encours --stocks-- et des retards. Ces techniques permettent également de traiter les problèmes d'optimisation reliés, par exemple l'optimisation de la gestion des des ressources --machines, palettes, processeurs, stocks, mémoires-- sous contrainte de performance --débit ou garantie de temps de réponse--, le choix des routages des pièces ou des transactions, le suivi de carnet de commande, l'ordonnancement de tâches ou de calcul.
Un panorama scientifique détaillé est donné plus bas.