Position du problème

Dans cette section nous donnons la formulation originale du problème d'optimisation de formes auquel nous appliquerons la méthode d'homogénéisation. Pour appliquer en toute rigueur cette méthode, nous supposons que le modèle mécanique sous-jacent est celui de l'élasticité linéaire. Par ailleurs, notre mesure de la rigidité globale d'une pièce mécanique sera la compliance, c'est-à-dire le travail des forces extérieures ou bien encore l'énergie élastique.

Considérons un domaine de référence borné $\Omega\in\mathbb{R}^N$ ($N=2,3$ est la dimension de l'espace), occupé par un matériau élastique, linéaire et isotrope, de loi de Hooke $A$ (un tenseur d'ordre 4) définie par

$$A = (\kappa - \frac{2\mu}{N}) I_2 \otimes I_2 + 2\mu I_4 , \quad 0 < \kappa , \mu < + \infty ,$$ (1)

où $\kappa$ et $\mu$ sont respectivement les modules de compression et de cisaillement du matériau. On suppose qu'en l'absence de forces volumiques le domaine $\Omega$ n'est soumis qu'à un chargement surfacique, noté $f$, sur l'ensemble de sa frontière $\partial \Omega$ ($f$ est une fonction de $\partial \Omega$ dans $\mathbb{R}^N$). On aurait pu aussi n'imposer cette force que sur une partie de $\partial \Omega$ et avoir des conditions aux limites de bloquage sur l'autre partie. On demande aux forces surfaciques $f$ de respecter la condition d'équilibre

$$\int_{\partial\Omega} f\cdot u \ ds \ = \ 0,$$

pour tout champ de déplacement $u(x)=b+Mx$ correspondant à une rotation infinitésimale (avec $M=-M^t$ matrice antisymétrique).

Une forme admissible $\omega$ est un sous-ensemble du domaine de référence $\Omega$ obtenu en pratiquant un ou plusieurs trous dans $\Omega$. Les nouvelles frontières ainsi générées sont libres de toute traction. Pour que $\omega$ soit admissible, il faut aussi que sa frontière $\partial \omega$ contienne la partie du bord $\partial \Omega$ où les forces surfaciques $f$ ne sont pas nulles. On note $u_\omega(x)$ le champ de déplacement (une fonction de $\omega$ dans $\mathbb{R}^N$), solution des équations de l'élasticité dans $\omega$,

$$\left\{ \begin{array}{ll} \sigma_\omega = A e(u_\omega), & ... ...partial \omega \setminus \partial \Omega . \end{array} \right.$$ (2)

Les matrices symétriques $e(u_\omega)$ et $\sigma_\omega$ sont appelées respectivement tenseur des déformations et tenseur des contraintes. La mesure de la rigidité de la forme $\omega$ est donnée par sa compliance définie par

$$c(\omega) = \int_{\partial \Omega} f \cdot u_\omega ds = \i... ... = \int_{\omega} A^{-1} \sigma_\omega \cdot \sigma_\omega dx .$$ (3)

Le poids de la forme est supposé proportionnel à son volume, noté $\vert\omega\vert = \int_{\omega} dx$. Pour balancer les deux objectifs contradictoires de minimisation du poids et de maximisation de la rigidité, on introduit un multiplicateur de Lagrange positif $\ell>0$.

Nous nous intéressons alors au problème d'optimisation de formes qui consiste à minimiser, sur l'ensemble des formes admissibles $\omega \subset \Omega$, la somme pondérée de la compliance et du poids. Autrement dit, on cherche une forme optimale qui minimise une fonction objectif $E(\omega)$

$$\inf_{\omega \subset \Omega} \left( E(\omega) = c(\omega) + \ell \vert \omega \vert \right) .$$ (4)

Rappelons (ce qui sera très utile par la suite) que la valeur de la compliance est fournit par le principe de minimisation de l'énergie complémentaire

$$c(\omega) = \int_{\partial \Omega} f \cdot u_\omega ds = \m... ...\partial \Omega} \int_{\omega} A^{-1} \sigma \cdot \sigma dx .$$ (5)