Résumé

Le but de cette séance est de donner une présentation générale de la thématique afin de donner quelques réponses aux questions suivantes:

• Quelles sont les idées fondatrices ?
• Quelles sont les différentes familles de méthodes ?
• Quels sont les enjeux actuels en décomposition de domaine ?

Pendant cette séance d'introduction, les questions sont très fortement encouragées.

Résumé

François Alouges présentera l'article suivant:

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Lors de cette séance, nous aborderons l'implémentation des méthodes de Schwarz à l'aide du langage Python. Pour ce faire, nous étudierons deux cas:

• nous commencerons par une méthode de Schwarz classique sur l'équation de Poisson 1D discrétisée à l'aide d'un schéma aux différences finies. Nous utiliserons la bibliothèque mpi4py pour la partie parallèle.
• nous regarderons ensuite la résolution d'un problème d'élasticité linéaire 2D en utilisant PETSc avec une discrétisation éléments finis. Nous montrerons qu'il est facile d'ajouter son propre préconditionneur avec PETSc en construisant un BDD pour ce problème.

Support de la présentation

Vous trouverez la présentation de Loïc ici au format ipython notebook.

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Le développement d’une nouvelle génération de matériaux à meso et/ou microstructure complexe (composites tissés, alliages métalliques…) ouvre de nombreuses perspectives dans l’optimisation des propriétés des pièces mécaniques, mais nécessite un recours accru à la simulation numérique pour en tirer pleinement partie. Celle-ci met en jeux des modèles aux petites échelles qui conduisent à la résolution de problèmes éléments finis de grande taille, nécessitant un recours croissant aux architectures de calcul massivement parallèles actuelles, encore peu utilisées en mécanique du solide. Dans ce cadre, les méthodes de décomposition de domaine sans recouvrement (algorithmes BDD, FETI et dérivés) offrent un cadre de travail particulièrement intéressant dans l’optique de disposer de solveurs HPC robustes et efficaces pour un large spectre d’applications. Si elles ont atteint une maturité académique indiscutable, leur application robuste et intensive sur des structures industrielles est encore ardu, mais de récents développements dans le domaine autour des solveurs multipréconditionnés sont particulièrement prometteurs. On présentera et discutera leur usage dans le contexte de l’industrie aéronautique.

Co-auteurs

Sarah Ali Hassan, Michel Kern, Martin Vohralik

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We present a posteriori error estimates and stopping criteria for global-in-time, nonoverlapping domain decomposition methods to model flow and transport problems in a porous medium. The method considered uses the optimized Schwarz waveform relaxation method with Robin transmission conditions, whose coefficients can be optimized to improve convergence rates. A mixed formulation of an interface problem on the space-time interface is derived, and different time grids are used to adapt to different time scales in the subdomains. We estimate separately the error of the space-time DD method, that of the spatial discretization as well as that of the time discretization. Consequently, an effective criterion to stop the DD iterations is developed with local time stepping. Our a posteriori estimates are based on reconstruction techniques for pressures and fluxes. This work has been supported by ANDRA, the ANR project DEDALES and the European Research Council (ERC) project GATIPOR.

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It is not easy to start working in a new field of research. I will give a personal overview over seven things I would have liked to know when I started working on domain decomposition (DD) methods:

• 1) Seminal contributions to DD not easy to start with
• 2) Seminal contributions to DD ideal to start with
• 3) DD solvers are obtained by discretizing 2)
• 4) There are better transmission conditions than Dirichlet or Neumann
• 5) "Optimal" in classical DD means scalable
• 6) Coarse space components can do more than provide scalability
• 7) DD methods should always be used as preconditioners

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À venir.

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Différents problèmes physiques peuvent s'écrire sous forme d'une équation intégrale (Laplace, Helmoltz, Stokes...). On présentera dans cet exposé une discrétisation de ce type de problème. Les inconnues étant définies sur la frontière du domaine physique, cela permet de poser un problème discret sur un domaine surfacique. On gagne ainsi une dimension d'espace et donc, on diminue le nombre de degrés de liberté inconnus. On se concentrera sur la méthode des éléments finis de frontière en montrant comment construire la matrice du problème algébrique correspondant. On discutera des avantages/inconvénients de ce type de méthode. Pour finir, on abordera le problème du calcul des intégrales singulières que l'on a inévitablement à calculer dans ce type de discrétisation et qui doit impérativement être résolu afin d'obtenir des solutions précises.

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Contrairement aux systèmes linéaires creux issus des éléments finis (FEM), les méthodes intégrales nécessitent l'assemblage et la résolution de systèmes linéaires pleins, issus des éléments finis de frontière (BEM). Sans traitement spécifique, la complexité quadratique qui en découle limite l'utilisation de ces méthodes à la résolution de problèmes faisant appel à des maillages de petite taille. Pour s'affranchir de cette limitation, de nombreux algorithmes ont été développés depuis la fin des années 80, allant des méthodes multipolaires rapides (FMM) aux matrices hiérarchiques (H-Matrix). Ces diverses compressions permettent de réduire sensiblement la complexité algorithmiques des BEM, et autorisent la résolution de problèmes de taille bien supérieure. L'objectif de cette présentation est d'introduire les grands principes de l'accélération des méthodes intégrales, avec une comparaison non exhaustive de plusieurs algorithmes proposés dans la littérature (FMM, H^{1,2} matrix, SCSD). Plusieurs applications numériques seront présentées, réalisées sous gypsilab, outil open-source de calcul intégral pour matlab : http://www.cmap.polytechnique.fr/~aussal/gypsilab/

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On examinera successivement les points suivants (toujours en milieu infini)

A) Cas des écoulements de Stokes:

• équations de Stokes
• solution fondamentale pour la vitesse et la pression
• représentation et équation intégrales associées

B) Cas de la MagnétoHydrodynamique en régime de Stokes

• équations de la MHD en régime de Stokes
• solution fondamentale pour la vitesse, la pression et le potentiel électrique
• cas axisymétrique. Ecoulements axisymétriques fondamentaux.
• représentation et équation intégrales associées dans le cas axisymétrique.
• illustration pour une sphère ou deux sphères en translation selon la ligne des centres et parallèle au champ magnétique.

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La méthode des éléments finis de frontière approchant les équations intégrales est la méthode de choix pour la résolution de problèmes d’ondes en contexte industriel. Avec la montée en fréquence et en complexité, le nombre de degrés de liberté augmente tellement qu’il est obligatoire d’utiliser d’une part des algorithmes dits « rapides » comme les multipôles ou les H-matrices et des implémentations utilisant au mieux les architectures d’ordinateurs moderne. Le projet DGA/RAPID Hi-BOX mené par IMACS avec Airbus et Inria a permis la réalisation d’une bibliothèque générique représentant l’état de l’art sur les méthodes rapides itératives, directes et leur hybridation, efficace sur les nouvelles architectures massivement parallèles et hybrides, pouvant être utilisée dans des codes BEM déjà existants. Dans cet exposé, je présenterai globalement le projet en faisant quelques zooms techniques et en montrant quelques résultats.

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À venir.