CMAP
François Alouges
Natation a faible nombre de Reynolds
La natation des microorganismes (bactéries, spermatozoïdes, micro-algues, etc.) est un sujet de recherche aux multiples applications. Par exemple, mieux comprendre le mouvement des bactéries peut permettre de prévoir leurs besoins et de favoriser leur développement ou au contraire le freiner dans le cas de luttes contre les maladies.
La natation de certains microorganismes est fascinante. Par exemple, sur la vidéo suivante, on peut voir la nage de la micro-algue Eutreptiella en mode Metaboly. Les mouvements sont amples, majestueux mais néanmoins restent très mystérieux...
(Voir aussi ce lien.)
D'autres équipes de recherche étudient ce phénomène dans le but de fabriquer un jour des micro-robots nageurs. Là aussi les applications, particulièrement en médecine sont multiples : ces robots pourraient un jour transporter des médicaments au plus près des cellules malades voire effectuer des opérations chirurgicales de manière moins invasive qu'avec un scalpel.
Dans ce but certains chercheurs fabriquent des micro-moteurs, comme par exemple le Proteus développé par une équipe australienne (voir [3]).
Le micro-moteur Proteus.
Le nombre de Reynolds
La réversibilité dans les écoulements visqueux et le théorème de la coquille Saint-Jacques
En 2009-2010, un groupe de 7 élèves de deuxième année de l'Ecole Polytechnique a réalisé un PSC (projet scientifique collectif) sous ma direction.
(Il s'agit de G. Blanchard, S. Calisti, S. Calvet, P. Fourment, C. Glusa, R. Leblanc, et M. Quillas-Saavedra et se sont eux-mêmes baptisés "Scallop-motion".)
Le but du PSC était (entre autre) de mettre expérimentalement en évidence la réversibilité dans les fluides visqueux puis de construire le robot de Purcell (3-link swimmer) et de vérifier son aptitude à nager dans un fluide (très) visqueux.
Une des expériences qu'ils ont conçue et réalisée consiste à remplir un verre avec du liquide vaisselle, de tracer un "S" à l'encre et de bouger dans un sens, puis dans l'autre une règle dans le verre.
Dans un film réalisé par l'équipe de G. I. Taylor, on peut aussi voir une excellente illustration (quoique beaucoup plus mystérieuse car on ne comprend pas bien ce qui se passe) de la réversibilité des écoulements visqueux.
Une des conséquences de la réversibilité des écoulements visqueux, a été remarquée probablement par Ludwig [4] mais formalisée par E. M. Purcell [1] sous le nom de théorème de la coquille Saint-Jacques. Elle consiste à dire qu'un mouvement réciproque (dans un sens puis dans l'autre) ne permet pas de déplacement global. Ainsi, la coquille Saint-Jacques qui se déplace en ouvrant et fermant sa coquille ne pourrait se déplacer dans un fluide très visqueux (à bas Reynolds) puisque tout mouvement exercé pendant l'ouverture serait annulé par le mouvement contraire à la fermeture. La coquille Saint-Jacques ne peut donc nager qu'en utilisant l'inertie présente dans les écoulements à Reynolds suffisamment élevé.
La natation optimale
A gauche: Course entre 3 nageurs de Golestanian. Les trois nageurs dépensent la même énergie par brassée. Celui au premier plan a été calculé de façon à aller le plus vite possible. Les deux autres écartent ou rapprochent leurs bras à tour de rôle. Pour mieux voir les déplacements ont été amplifiés d'un facteur 10. A droite: Le "Stick and donut". Nageur inventé par A. DeSimone.Et les Mathématiques dans tout çà...
La natation dans les fluides a faiblre nombre de Reynolds est un probleme de locomotion, qui fait intervenir de facon cruciale la theorie du controle. L'etat du systeme peut etre represente par deux variables p qui represente la position du nageur (typiquement la position de son centre de gravite et l'orientation de ce dernier), ainsi que ξ qui represente la forme du nageur. n-2
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Références:
[1] E. M. Purcell, Life at low Reynolds number, American Journal of Physics 45, 1977, voir l'article en ligne.[2] F. Alouges, A. DeSimone et A. Lefebvre, Swimming at low Reynolds number at optimal strokes: an example, J. Nonlin. Sci. 18 (2008)
[3] B. Watson, J. Friend et L. Yeo, Piezoelectric ultrasonic resonant motor with stator diameter less than 250 μm: the Proteus motor, J. Micromech. Microeng. 19 (2009).