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MASTER ''Mathématiques de la modélisation''

Ecole Polytechnique et Université Pierre et Marie Curie (Paris 6)

Master Pierre et Marie Curie (Paris 6) ---------------------- Master Ecole Polytechnique

M2: cours enseigné par G. Allaire pour l'année 2017-2018

Analyse théorique et numérique des systèmes hyperboliques de lois de conservation

Ce cours sera enseigné en anglais, voir la version anglaise.

Ce cours est consacré aux systèmes hyperboliques de lois de conservation dont l'exemple le plus représentatif (qui sera traité dans le cours) est celui des équations de la dynamique des gaz. Le cours développera à la fois des aspects théoriques et numériques. Chaque séance comprendra une partie théorique et une partie numérique. Le plan du cours est donc double et sera suivi en parallèle.

Partie théorique

  • Introduction à l'analyse théorique : lois de conservation et équations aux dérivées partielles du 1er ordre, exemples et motivation physique, hyperbolicité des systèmes, explosion en temps finie des solutions régulières, notion de solutions faibles, condition de saut de Rankine-Hugoniot, chocs et détentes, condition d'entropie.
  • Analyse théorique des équations scalaires : un aperçu sur l'existence et l'unicité des solutions, problème de Riemann
  • Analyse théorique des systèmes hyperboliques : entropie, symétrisation, systèmes linéaires à coefficients constants, définition des types d'ondes, champs vraiment non linéaire et linéairement dégénéré, critère de Lax, problème de Riemann.
  • Dynamique des gaz : entropie et thermodynamique, modèle isentropique, un aperçu de la résolution du problème de Riemann.
  • Partie numérique

  • Introduction à l'analyse numérique : méthodes de différences finies, stabilité, consistance et précision des schémas, schémas conservatifs, théorème de Lax-Wendroff.
  • Schémas numériques pour les équations scalaires : méthode de Godunov en 1-D, schémas monotones et entropiques, schémas TVD d'ordre 2, méthode de Van Leer.
  • Schémas numériques 1-D pour les systèmes : schémas centrés, à décomposition de flux, de type Godunov avec solveur exact ou approché du problème de Riemann, schéma de Roe, ordre 2 et méthode de Van Leer.
  • Sujets d'examen des années précédentes (pour vous entrainer):  2001,  2003,  2005,  2006 ,  2007,  2008,  2009 ,  2010 (version française),  2010 (English version) (fichiers postscript).

    Bibliographie sommaire

  • E. Godlewski, P.A. Raviart, Hyperbolic systems of conservation laws , Collection Mathématiques et Applications de la SMAI, Ellipses, Paris (1991)
  • E. Godlewski, P.A. Raviart, Numerical approximation of hyperbolic systems of conservation laws , Springer, New York (1996).
  • E. Toro, Riemann solvers and numerical methods for fluid dynamics , Springer, Berlin (1999).
  • R. LeVeque, Finite volume methods for hyperbolic problems , Cambridge University Press (2002).
  • B. Després, F. Dubois, Systèmes hyperboliques de lois de conservation. Application à la dynamique des gaz , Editions de l'Ecole Polytechnique (2005).
  • C. Dafermos, Hyperbolic Conservation Laws in Continuum Physics , Springer, Berlin (2005).

  • Programmes informatiques

    Nous donnons ici quelques programmes (simples) écrits dans le langage SCILAB (développé et distribué gratuitement par l'INRIA ; voir le site Scilab ) qui accompagnent et illustrent ce cours de Master. Les programmes sont commentés (un peu) et non garantis dénués d'erreurs (bien que je les ai testés). Merci de me signaler les éventuelles erreurs et de me faire part de vos remarques (par email: gregoire.allaire_AT_polytechnique.fr ).

    Liste de programmes dans le langage SCILAB.

  • Sur la nécessité de l'hyperbolicité des systèmes de lois de conservation  hyperb.sce avec le sous-programme  shiftp.sci
  • Divers schémas sur l'équation de transport linéaire en 1-D  transp.sce avec les sous-programmes  soltr.sci et  shiftp.sci
  • Divers schémas sur l'équation de Burgers en 1-D avec donnée initiale régulière et condition aux limites périodiques  burgers0.sce avec le sous-programme  shiftp.sci
  • Divers schémas sur l'équation de Burgers en 1-D pour le problème de Riemann  burgers.sce avec les sous-programmes  solbu.sci et  shiftn.sci
  • Comparaison de schémas sur l'équation de Burgers en 1-D  compar.sce avec le sous-programme  shiftn.sci
  • Convergence par raffinement de maillage de schémas sur l'équation de Burgers en 1-D  rafin.sce avec le sous-programme  shiftp.sci
  • Résolution du problème de Riemann pour un flux non-convexe  nonconv.sce avec le sous-programme  shiftn.sci
  • Résolution du problème de Riemann pour les équations d'Euler de la dynamique des gaz par divers schémas  euler.sce avec les sous-programmes  shiftn.sci  flux.sci et  fluvl.sci
  • Quelques problèmes de Riemann pour les équations d'Euler de la dynamique des gaz  riemann.sce avec le sous-programme  shiftn.sci
  • Schéma de Roe pour les équations d'Euler (sans et avec correction entropique)  roe.sce avec le sous-programme  shiftn.sci
  • Divers schémas sur l'équation de transport linéaire en 2-D (comparaison de schémas vraiment 2-D avec des schémas par directions alternées)  bidim.sce avec le sous-programme  shiftp2d.sci
  • Voici les mêmes programmes écrits dans le langage Matlab. Attention: ces programmes ne sont pas maintenus au fil des évolutions de Matlab.

  • Sur la nécessité de l'hyperbolicité des systèmes de lois de conservation  hyperb.m avec le sous-programme  wshift2.m
  • Divers schémas sur l'équation de transport linéaire en 1-D  transp.m avec le sous-programme  soltr.m
  • Divers schémas sur l'équation de Burgers en 1-D avec donnée initiale régulière et condition aux limites périodiques  burgers0.m
  • Divers schémas sur l'équation de Burgers en 1-D pour le problème de Riemann  burgers.m avec les sous-programmes  solbu.m et  wshift3.m
  • Sur l'apparition d'ondes composées dans la solution du problème de Riemann pour une loi de conservation scalaire avec flux non convexe  nonconv.m
  • Résolution du problème de Riemann pour les équations d'Euler de la dynamique des gaz par divers schémas  euler.m avec les sous-programmes  flux.m et  fluvl.m
  • Comparaison des schémas de Lax-Friedrichs, Lax-Wendroff et Godunov pour l'équation de Burgers en 1-D  compar.m
  • Raffinement de maillage pour les schémas de Lax-Friedrichs, Lax-Wendroff et Godunov pour l'équation de Burgers en 1-D  rafin.m
  • Schémas TVD d'ordre 2 pour l'équation de transport linéaire en 1-D (méthode des limiteurs de flux)  tvd.m
  • Comparaison des schémas de Godunov (ordre 1) et de Van Leer (ordre 2) pour l'équation de Burgers en 1-D  muscl.m
  • Divers schémas sur l'équation de transport linéaire en 2-D (comparaison de schémas vraiment 2-D avec des schémas par directions alternées)  bidim.m
  • Quelques problèmes de Riemann pour les équations d'Euler de la dynamique des gaz  riemann.m
  • Modèle 1-D d'écoulement dans une tuyère pour les équations d'Euler isentropiques (convergence vers un régime stationnaire)  tuyere.m
  • Schéma de Roe pour les équations d'Euler (sans et avec correction entropique)  roe.m
  • Schéma de Roe pour les équations d'Euler en coordonnées lagrangiennes (contribution de Julien Cortial et Gilles Kluth)  Roe.zip