MASTER ''Mathématiques de la modélisation''

Ecole Polytechnique et Université Paris 6

`Master Paris 6` ---------------------- `Master Ecole Polytechnique`

M2: cours de G. Allaire et F. Coquel (année 2009-2010)

Analyse théorique et numérique des systèmes hyperboliques de lois de conservation

Ce cours est consacré aux systèmes hyperboliques de lois de conservation dont l'exemple le plus représentatif (qui sera traité en détail dans le cours) est celui des équations de la dynamique des gaz. Le cours développera à la fois des aspects théoriques et numériques. Chaque séance comprendra une partie théorique et une partie numérique. Le plan du cours est donc double et sera suivi en parallèle.

Partie théorique

Introduction à l'analyse théorique : lois de conservation et équations aux dérivées partielles du 1er ordre, exemples et motivation physique, hyperbolicité des systèmes, explosion en temps finie des solutions régulières, notion de solutions faibles, condition de saut de Rankine-Hugoniot, chocs et détentes, condition d'entropie.

Analyse théorique des équations scalaires : existence et unicité, théorème de Kruzkov, problème de Riemann

Analyse théorique des systèmes hyperboliques : entropie, symétrisation, systèmes linéaires à coefficients constants, définition des types d'ondes, champs vraiment non linéaire et linéairement dégénéré, critère de Lax, problème de Riemann.

Dynamique des gaz : entropie et thermodynamique, modèle isentropique, formulation lagrangienne, résolution du problème de Riemann.

Partie numérique

Introduction à l'analyse numérique : méthodes de différences finies, stabilité, consistance et précision des schémas, schémas conservatifs, théorème de Lax-Wendroff.

Schémas numériques pour les équations scalaires : méthode de Godunov en 1-D, schémas monotones et entropiques, schémas TVD d'ordre 2, méthode de Van Leer.

Schémas numériques 1-D pour les systèmes : schémas centrés, à décomposition de flux, de type Godunov avec solveur exact ou approché du problème de Riemann, schéma de Roe, ordre 2 et méthode de Van Leer.

Volumes finis multi-dimensionnels : définition et implémentation numérique, traitement des termes sources, implicitation en temps, termes diffusifs, conditions aux limites.

Sujets d'examen des années précédentes (pour vous entrainer): 2001, 2003, 2005, 2006 , 2007, 2008, 2009 , 2010 (version française), 2010 (English version) (fichiers postscript).

Bibliographie sommaire

E. Godlewski, P.A. Raviart, Hyperbolic systems of conservation laws , Collection Mathématiques et Applications de la SMAI, Ellipses, Paris (1991)

E. Godlewski, P.A. Raviart, Numerical approximation of hyperbolic systems of conservation laws , Springer, New York (1996).

E. Toro, Riemann solvers and numerical methods for fluid dynamics , Springer, Berlin (1999).

R. LeVeque, Finite volume methods for hyperbolic problems , Cambridge University Press (2002).

B. Després, F. Dubois, Systèmes hyperboliques de lois de conservation. Application à la dynamique des gaz , Editions de l'Ecole Polytechnique (2005).

C. Dafermos, Hyperbolic Conservation Laws in Continuum Physics , Springer, Berlin (2005).

Sujets de projets numériques

Un projet numérique facultatif est proposé aux étudiants suivant le cours. Il est réalisé en binôme sur un sujet à choisir dans la liste suivante. Un sujet ne peut être choisi que par un seul binôme. La constitution des binômes est du ressort des étudiants qui doivent s'inscrire auprès de F. Coquel lors du cours du jeudi 15 octobre 2009 en indiquant quel sujet ils ont choisi. Aucune inscription ne sera acceptée après cette date. Une soutenance/démonstration sur ordinateur sera organisée fin janvier après l'examen écrit. Elle sera sanctionnée par un bonus de 2 points au maximum qui sera ajouté à la note de l'examen écrit.

sujet 1, transport linéaire en 2-d

sujet 2, transport linéaire non diffusif

sujet 3, trafic routier

sujet 4, équations d'Euler 2-d

sujet 5, Euler avec friction et Darcy

sujet 6, schémas VFRoe et VFRoe-ncv

sujet 7, chocs non classiques

sujet 8, schéma exact de Godunov

sujet 9, approximation d'ordre élevé

sujet 10, schéma équilibre

sujet 11, dynamique des gaz sans pression

sujet 12, couplage de deux systèmes

Programmes informatiques

Nous donnons ici quelques programmes (simples) écrits dans le langage SCILAB (développé et distribué gratuitement par l'INRIA ; voir le site Scilab ) qui accompagnent et illustrent ce cours de Master. Les programmes sont commentés (un peu) et non garantis dénués d'erreurs (bien que je les ai testés). Merci de me signaler les éventuelles erreurs et de me faire part de vos remarques (par email: gregoire.allaire_AT_polytechnique.fr ).

Liste de programmes dans le langage SCILAB.

Sur la nécessité de l'hyperbolicité des systèmes de lois de conservation hyperb.sce avec le sous-programme shiftp.sci

Divers schémas sur l'équation de transport linéaire en 1-D transp.sce avec les sous-programmes soltr.sci et shiftp.sci

Divers schémas sur l'équation de Burgers en 1-D avec donnée initiale régulière et condition aux limites périodiques burgers0.sce avec le sous-programme shiftp.sci

Divers schémas sur l'équation de Burgers en 1-D pour le problème de Riemann burgers.sce avec les sous-programmes solbu.sci et shiftn.sci

Comparaison de schémas sur l'équation de Burgers en 1-D compar.sce avec le sous-programme shiftn.sci

Convergence par raffinement de maillage de schémas sur l'équation de Burgers en 1-D rafin.sce avec le sous-programme shiftp.sci

Résolution du problème de Riemann pour un flux non-convexe nonconv.sce avec le sous-programme shiftn.sci

Résolution du problème de Riemann pour les équations d'Euler de la dynamique des gaz par divers schémas euler.sce avec les sous-programmes shiftn.sci flux.sci et fluvl.sci

Quelques problèmes de Riemann pour les équations d'Euler de la dynamique des gaz riemann.sce avec le sous-programme shiftn.sci

Schéma de Roe pour les équations d'Euler (sans et avec correction entropique) roe.sce avec le sous-programme shiftn.sci

Divers schémas sur l'équation de transport linéaire en 2-D (comparaison de schémas vraiment 2-D avec des schémas par directions alternées) bidim.sce avec le sous-programme shiftp2d.sci

Voici les mêmes programmes écrits dans le langage Matlab. Attention: ces programmes ne sont pas maintenus au fil des évolutions de Matlab.

Sur la nécessité de l'hyperbolicité des systèmes de lois de conservation hyperb.m avec le sous-programme wshift2.m

Divers schémas sur l'équation de transport linéaire en 1-D transp.m avec le sous-programme soltr.m

Divers schémas sur l'équation de Burgers en 1-D avec donnée initiale régulière et condition aux limites périodiques burgers0.m

Divers schémas sur l'équation de Burgers en 1-D pour le problème de Riemann burgers.m avec les sous-programmes solbu.m et wshift3.m

Sur l'apparition d'ondes composées dans la solution du problème de Riemann pour une loi de conservation scalaire avec flux non convexe nonconv.m

Résolution du problème de Riemann pour les équations d'Euler de la dynamique des gaz par divers schémas euler.m avec les sous-programmes flux.m et fluvl.m

Comparaison des schémas de Lax-Friedrichs, Lax-Wendroff et Godunov pour l'équation de Burgers en 1-D compar.m

Raffinement de maillage pour les schémas de Lax-Friedrichs, Lax-Wendroff et Godunov pour l'équation de Burgers en 1-D rafin.m

Schémas TVD d'ordre 2 pour l'équation de transport linéaire en 1-D (méthode des limiteurs de flux) tvd.m

Comparaison des schémas de Godunov (ordre 1) et de Van Leer (ordre 2) pour l'équation de Burgers en 1-D muscl.m

Divers schémas sur l'équation de transport linéaire en 2-D (comparaison de schémas vraiment 2-D avec des schémas par directions alternées) bidim.m

Quelques problèmes de Riemann pour les équations d'Euler de la dynamique des gaz riemann.m

Modèle 1-D d'écoulement dans une tuyère pour les équations d'Euler isentropiques (convergence vers un régime stationnaire) tuyere.m

Schéma de Roe pour les équations d'Euler (sans et avec correction entropique) roe.m

Schéma de Roe pour les équations d'Euler en coordonnées lagrangiennes (contribution de Julien Cortial et Gilles Kluth) Roe.zip