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MASTER ''Mathematical Modelling''

Ecole Polytechnique and University Paris 6

Master Paris 6 ---------------------- Master Ecole Polytechnique

M2 (second year): course taught by F. Coquel alone for the academic year 2010-2011

Theoretical and Numerical Analysis of Hyperbolic Systems of Conservation Laws

This course is devoted to hyperbolic systems of conservation laws, the most famous example of which is gaz dynamic (fully studied in details during the course). Both theoretical and numerical aspects are emphasized during each class of three hours. There are therefore a double table of contents which are followed in parallel.

Theoretical part

  • Mathematical introduction : conservation laws and first order partial differential equations, motivation and physical examples, hyperbolicity of systems, finite time blow-up of smooth solutions, notion of weak solutions, Rankine-Hugoniot jump conditions, shock and rarefaction waves, entropy conditions.
  • Theoretical analysis of scalar equations : existence and uniqueness, Kruzkov theorem, Riemann problem.
  • Theoretical analysis of system of equations : entropy, symmetrizability, constant coefficient linear systems, definition of wave types, truly non linear fields and linearly degenerate fields, Lax criterion, Riemann problem.
  • Gaz dynamic : entropy and thermodynamic, isentropic model, lagrangian formulation, solving the Riemann problem.

    • Numerical part

  • Numerical introduction : Finite differences, stability, consistency and accuracy of numerical schemes, conservative schemes, Lax-Wendroff theorem.
  • Numerical schemes for scalar equations : 1-D Godunov method, monotone and entropic schemes, second order TVD schemes, Van Leer MUSCL method.
  • Numerical schemes for systems of equations : centred schemes, flux spliting schemes, Godunov and Godunov-type schemes (with exact or approximated solver of the Riemann problem), Roe scheme, second order schemes and the MUSCL method of Van Leer.
  • Multi-dimensional finite volumes : definition and numerical implementation, source terms, diffusive terms, boundary conditions, time implicitation.

    • Written exams of the previous years :  2010 (postscript files).

    Bibliography

  • E. Godlewski, P.A. Raviart, Hyperbolic systems of conservation laws , Collection Mathématiques et Applications de la SMAI, Ellipses, Paris (1991)
  • E. Godlewski, P.A. Raviart, Numerical approximation of hyperbolic systems of conservation laws , Springer, New York (1996).
  • E. Toro, Riemann solvers and numerical methods for fluid dynamics , Springer, Berlin (1999).
  • R. LeVeque, Finite volume methods for hyperbolic problems , Cambridge University Press (2002).
  • B. Després, F. Dubois, Systèmes hyperboliques de lois de conservation. Application à la dynamique des gaz , Editions de l'Ecole Polytechnique (2005).
  • C. Dafermos, Hyperbolic Conservation Laws in Continuum Physics , Springer, Berlin (2005).

    • Numerical projects

    A facultative numerical project is proposed to the students following the course. A pair of students chooses one topic in the list below. A topic can be chosen only by a single pair. Registration with G. Allaire and F. Coquel is mandatory. A defense of the project with a computer is organized in January after the written exam. A bonus of 2 points at most, depending on the quality of the work done during the project, will be added to the grade of the written exam.

  •  topic 1, Godunov scheme for gas dynamics
  •  topic 2, compressible multifluid flows
  •  topic 3, traffic model
  •  topic 4, 2-d Euler equations
  •  topic 5, Euler with friction and Darcy limit
  •  topic 6, VFRoe and VFRoe-ncv schemes
  •  topic 7, non-classical solutions and kinetic relations
  •  topic 8, asymptotic preserving HLL schemes
  •  topic 9, high order approximation
  •  topic 10, well-balanced scheme
  •  topic 11, pressureless gaz dynamic
  •  topic 12, coupling two systems

    • Computer programs

    Below is a list of a few simple programs, written in SCILAB (freely distributed by INRIA ; see Scilab ) which are illustrative of this course. These routines come with no warranty. Thank you for reporting any bug to gregoire.allaire_AT_polytechnique.fr ).

    List of SCILAB routines.

  • Sur la nécessité de l'hyperbolicité des systèmes de lois de conservation  hyperb.sce avec le sous-programme  shiftp.sci
  • Divers schémas sur l'équation de transport linéaire en 1-D  transp.sce avec les sous-programmes  soltr.sci et  shiftp.sci
  • Divers schémas sur l'équation de Burgers en 1-D avec donnée initiale régulière et condition aux limites périodiques  burgers0.sce avec le sous-programme  shiftp.sci
  • Divers schémas sur l'équation de Burgers en 1-D pour le problème de Riemann  burgers.sce avec les sous-programmes  solbu.sci et  shiftn.sci
  • Comparaison de schémas sur l'équation de Burgers en 1-D  compar.sce avec le sous-programme  shiftn.sci
  • Convergence par raffinement de maillage de schémas sur l'équation de Burgers en 1-D  rafin.sce avec le sous-programme  shiftp.sci
  • Résolution du problème de Riemann pour un flux non-convexe  nonconv.sce avec le sous-programme  shiftn.sci
  • Résolution du problème de Riemann pour les équations d'Euler de la dynamique des gaz par divers schémas  euler.sce avec les sous-programmes  shiftn.sci  flux.sci et  fluvl.sci
  • Quelques problèmes de Riemann pour les équations d'Euler de la dynamique des gaz  riemann.sce avec le sous-programme  shiftn.sci
  • Schéma de Roe pour les équations d'Euler (sans et avec correction entropique)  roe.sce avec le sous-programme  shiftn.sci
  • Divers schémas sur l'équation de transport linéaire en 2-D (comparaison de schémas vraiment 2-D avec des schémas par directions alternées)  bidim.sce avec le sous-programme  shiftp2d.sci