Théorème de l'orbite ouverte-dense
A. Zeghib
Intervenant : A. Zeghib
Résumé : Pour une structure géométrique sur un espace M, on considère P son pseudo-groupe de symétries locales, i.e. tous les difféomorphismes entre ouverts de M préservant cette structure.
Lorsque P admet une orbite dense, tous les invariants (continues) scalaires de la structure seront constantes. C'est à priori plus faible que le fait que M soit localement homogène, au sens que P admet une seule orbite qui est M entière.
Le théorème de l'orbite dense-ouverte, dû à Gromov, affirme essentiellement que c'est la cas lorsque la structure géométrique est rigide, e.g. une métrique riemannienne ou une connexion. Plus précisément, pour une telle structure, si le pseudo-groupe de symétries locales admet une orbite dense, alors celle-ci est ouverte ! Nous présentons une preuve de ce théorème utilisant des idées et notions de la théorie du contrôle et de la géométrie algébrique réelle.
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