Contrôle de flux en présence de chocs : théorie, analyse numérique et applications

Enrique Zuazua
BCAM – Basque Center for Applied Mathematics
Alameda Mazarredo, 14
E-48009 Bilbao
Basque Country
Spain

Résumé : Le contrôle de flux est un sujet important pour ses nombreuses applications et son impact potentiel économique, social et environnemental : qualité de l'eau et son approvisionnement, pétrole, pollution, circulation...
D'un point de vue mathématique, c'est un sujet difficile entre la théorie des équations aux dérivées partielles (EDPs), la théorie du contrôle, le design optimal et l'analyse numérique. Il utilise des modèles de mécanique des fluides tels que les équations de Navier-Stokes et d'Euler, les systèmes hyperboliques de lois de conservation, dont la compréhension constitue encore aujourd'hui un enjeu important de la théorie des EDPs. En effet, quelques-unes des principales questions concernant l'existence, l'unicité et la régularité des solutions de ces systèmes d'EDPs sont encore ouvertes dans ce domaine.
Les théories de contrôle et de design optimal sont également confrontés à des difficultés supplémentaires lorsque l'on considère ces questions en raison de la présence possible des singularités des solutions, auquel cas les approches classiques échouent souvent. Ces difficultés se reflètent également au niveau numérique et informatique, lors de l'élaboration des algorithmes capables de donner au niveau discret le résultat prédit par la mécanique des milieux continus.
Dans cette série de conférences, nous allons décrire l'état actuel de ce domaine, illustrant certaines directions possibles de recherche et donnant des applications pertinentes mentionnées ci-dessus. Nous nous concentrerons principalement sur ​​les lois de conservation hyperboliques scalaires pour lesquelles des solutions d'entropie présentent souvent des discontinuités de choc.
Le cours est orienté vers les chercheurs ayant une formation de base dans la théorie des équations aux dérivées partielles et leur analyse numérique par les méthodes de différences et volumes finis.

Notes de cours : première partie et deuxième partie.