Garnier Josselin
Téléphone : 01 69 33 46 30
Chargé de Recherche CNRS CR2
Centre de Mathématiques Appliquées
UMR CNRS 7641
Ecole Polytechnique
91128 Palaiseau Cedex
E-mail : Josselin.Garnier@polytechnique.fr
1. Ancien élève de l'Ecole Normale Supérieure (1991-1996).
2. Doctorat, Ecole Polytechnique
(18 décembre 1996).
Spécialité Modélisation Stochastique et Statistique.
Titre : Ondes en milieux aléatoires,
sous la direction de Jean-Pierre Fouque.
Rapporteurs : S. Olla, G. Papanicolaou.
Président du jury : J. Neveu.
3. Habilitation à Diriger des Recherches, Université de Paris VI
(31 janvier 2000).
Spécialité Mathématiques Appliquées.
Titre : Contributions à l'étude des phénomènes
de propagation d'ondes en milieux complexes.
Rapporteurs : R. Carmona, G. Papanicolaou, E. Pardoux.
Président du jury : J. Jacod.
Ondes en milieux aléatoires.
Compétition entre des effets non-linéaires
et aléatoires dans des phénomènes de propagation d'ondes.
Dynamique en temps longs de systèmes en milieux aléatoires.
1. Solitons en milieux aléatoires.
2. Instabilité modulationnelle pour l'équation de
Schrödinger vectorielle.
3. Etude des solitons à gestion de dispersion.
4. Conversion de fréquences de faisceaux lasers partiellement cohérents.
5. Modélisation de la croissance Laplacienne de dendrites.
Jean-Philippe Ayanidès (1997-) : thèse financée par le CEA sur la ``propagation de faisceaux laser partiellement cohérents''.
Etablissement :
ENSTA
Discipline : Probabilités - Statistiques
Niveau :
première année d'Ecole d'Ingénieur
1.
Secrétaire scientifique du GdR POAN
(Propagation des Ondes en milieux Aléatoires et/ou Non-linéaires)
d'octobre 1996 à décembre 1998.
Création et gestion d'un serveur Web pour le GdR à l'adresse :
http://www.poan.polytechnique.fr.
Même travail pour le GdR PRIMA (Unité CNRS GdR G1847)
(PRopagation et Imagerie en Milieu Aléatoire)
depuis janvier 1999.
Responsable du thème ``non-linéaire et aléatoire''au sein du GdR
PRIMA.
2. Organisation d'une Ecole à Cargèse du 3 au 9 septembre 2000 intitulée ``Propagation des Ondes en Milieux Non-linéaires et Diffusifs''. Cette Ecole est parrainée par la DGA (Direction des Systèmes de forces et de la Prospectives), le Ministère de l'Education Nationale, de la Recherche et de la Technologie (Mission Scientifique Universitaire) et le Ministère des Affaires Etrangères (Direction de la Coopération Scientifique, Universitaire et de la Recherche).
3. Mise en place d'un séminaire intitulé ``Propagation d'Ondes dans les Matériaux Complexes'' au Centre de Mathématiques Appliquées avec H. Ammari et E. Bonnetier.
-
Contrat d'Etudes (16 avril 1997 - 15 avril 1998) avec le CEA/DAM
Centre d'Etudes de Limeil-Valenton sur :
Modélisation et simulation de la propagation non-linéaire
de faisceaux partiellement cohérents.
-
Contrat d'Etudes (16 septembre 1998 - 15 septembre 1999) avec le CEA/DAM
Centre d'Etudes de Limeil-Valenton sur :
Modélisation de la conversion de fréquences pour l'optimisation
des lasers de haute puissance.
-
Contrat d'Etudes (30 septembre 1999 - 30 septembre 2000) avec le CEA/DAM
Centre d'Etudes Scientifiques et Techniques d'Aquitaine sur :
Etude statistique du lissage optique
et de l'effet cascade pour génerer une impulsion incohérente en phase.
-
Projet ``Jeune Equipe'' du Ministère, en cours, avec H. Ammari.
Habilitation à Diriger des Recherches
1. J. Garnier, Contributions à l'étude des phénomènes de propagation d'ondes en milieux complexes, Université de Paris VI (31 janvier 2000).
Revues avec comités de lecture
2. J. Garnier, Stochastic invariant imbedding. Application to stochastic differential equations with boundary conditions, Prob. Th. Rel. Fields 103 (1995), pp. 249-271.
3. J. Garnier, Homogenization in a periodic and time-dependent potential, SIAM, J. Appl. Math. 57 (1997), pp. 95-111.
4. J. Garnier, A multi-scaled diffusion-approximation theorem. Applications to wave propagation in random media, European Series in Applied and Industrial Mathematics, Probability & Statistics 1 (1997), pp. 183-206, consultable sur http://www.emath.fr .
5. J. Garnier, L. Videau, C. Gouédard et A. Migus, Statistical analysis of beam smoothing and some applications, J. Opt. Soc. Am. A 14 (1997), pp. 1928-1937.
6. J. Garnier, J.-P. Fouque, L. Videau, C. Gouédard et A. Migus, Amplification of broadband incoherent light in homogeneously broadened media in presence of Kerr nonlinearity, J. Opt. Soc. Am. B 14 (1997), pp. 2563-2569.
7. J. Garnier, Asymptotic transmission of solitons through random media, SIAM, J. Appl. Math. 58 (1998), pp. 1969-1995.
8. J. Garnier, L. Videau, C. Gouédard et A. Migus, Propagation and amplification of incoherent pulses in dispersive and nonlinear media, J. Opt. Soc. Am. B 15 (1998), pp. 2773-2781.
9. J. Garnier, Asymptotic behavior of the quantum harmonic oscillator driven by a random time-dependent electric field, J. Stat. Phys 93 (1998), pp. 211-241.
10. J. Garnier, L. Kallel et M. Schoenauer, Rigorous hitting times for binary mutations, Evolutionary Computation 7 (1999), pp. 173-203.
11. J. Garnier, Statistics of the hot spots of smoothed beams produced by random phase plates revisited, Phys. Plasmas 6 (1999), pp. 1601-1610.
12. J. Garnier, C. Gouédard et A. Migus, Statistics of the hottest spot of speckle patterns generated by smoothing techniques, Journal of Modern Optics 46 (1999), pp. 1213-1232.
13. L. Videau, C. Rouyer, J. Garnier et A. Migus, The motion of hot spots in smoothed beams, J. Opt. Soc. Am. A 16 (1999), pp. 1672-1681.
14. F. Kh. Abdullaev et J. Garnier, Modulational instability in birefringent fibers with periodic and random dispersion, Phys. Rev. E. 60 (1999), pp. 1042-1050.
15. F. Kh. Abdullaev et J. Garnier, Solitons in media with random dispersive perturbations, Physica D 134 (1999), pp. 303-315.
16. J. Garnier, Energy distribution of the quantum harmonic oscillator under random time-dependent perturbations, Phys. Rev. E. 60 (1999), pp. 3676-3687.
17. J. Garnier, Light propagation in square law media with random imperfections, Wave Motion 31 (2000), pp. 1-19.
18. J. Garnier et L. Kallel, Statistical distribution of the convergence time of evolutionary algorithms for longpath problems, à paraître dans IEEE Transactions on Evolutionay Computation.
19. J. Garnier, C. Gouédard et L. Videau, Propagation of a partially coherent beam under the interaction of small and large scales, à paraître dans Opt. Commun.
20. L. Videau, C. Rouyer, J. Garnier et A. Migus, Generation of a pure phase modulated pulse by cascading effect. A theoretical approach, à paraître dans J. Opt. Soc. Am. A.
Actes de congrès avec comités de lecture
J. Garnier et J.-P. Fouque, Amplification of incoherent light with wide spectrum, Proceedings de la Troisième Conférence Internationale sur les Aspects Mathématiques et Numériques des Phénomènes de Propagation d'Ondes, édités par G. Cohen, SIAM-INRIA, 1995, pp. 584-593.
J.-P. Fouque et J. Garnier, On waves in random media in the diffusion-approximation regime Proceedings de la conférence Waves in Random and other Complex Media, édités par R. Burridge, G. Papanicolaou et L. Pastur, IMA Vol. 96, Springer Verlag, New York, 1997, pp. 31-48.
J. Garnier, L. Videau, C. Gouédard et A. Migus, Which optical smoothing for LMJ and NIF ?, Proceedings de la conférence Solid state lasers for applications to ICF 1996, édités par M. André et H.T. Powell, SPIE, Vol. 3047, 1997, pp. 260-271.
L. Videau, A. Boscheron, J. Garnier, C. Gouédard, C. Feral, M. Laurent, J. Paye, C. Sauteret et A. Migus, Recent results of optical smoothing on the Phebus Laser, Proceedings de la conférence Solid state lasers for applications to ICF 1996, édités par M. André et H.T. Powell, SPIE, Vol. 3047, 1997, pp. 757-762.
L. Videau, J. Garnier, C. Feral, C. Gouédard, C. Sauteret et A. Migus, Spectral broadening and nonlinear limitation of partially incoherent pulses in high power amplifiers, Proceedings de la conférence CLEO'97, OSA Technical Digest Series, Vol. 11, 1997, pp. 353-354.
L. Videau, J. Garnier, C. Rouyer et A. Migus, Speckle movement description in case of 1D-SSD and longitudinal-SSD for a temporal sinusoidal phase modulation, Proceedings de la conférence Solid state lasers for applications to ICF 1998, édités par W. Howard Lowdermilk, SPIE, Vol. 3492, pp. 277-284.
F. Kh. Abdullaev et J. Garnier, Modulational instability of electromagnetic waves in randomly perturbed fibers, à paraître dans les proceedings de conférence SCT'99 (Solitons, Collapses and Turbulence, Chernogolovka, Moscow region, Russia, 1999).
F. Kh. Abdullaev, J. Garnier, E. Seve et S. Wabnitz, Modulational instability in optical fibers with polarization mode dispersion, à paraître dans les proceedings de la conférence NLGW'99 (Nonlinear Guided Waves, Dijon, 1999), OSA Technical Digest Series.
Preprints
21. J. Garnier et L. Kallel, Efficiency of local search with multiple local optima, soumis à SIAM Journal on Discrete Mathematics.
22. F. Kh. Abdullaev, J. Garnier, E. Seve et S. Wabnitz, Role of polarization mode dispersion on modulational instability in optical fibers, soumis à Phys. Rev. E.
23. J. Garnier, Instability of a quantum particle induced by a randomly varying spring coefficient, soumis aux proceedings de la conférence Ascona'99.
24. J. Garnier and F. Kh. Abdullaev, Modulational instability induced by randomly varying coefficients for the nonlinear Schrodinger equation, soumis à Physica D.
25. J. Garnier, High-frequency asymptotics for Maxwell equations in anisotropic media. Part I: Linear geometric and diffractive optics, soumis à J. Math. Phys.
26. J. Garnier, High-frequency asymptotics for Maxwell equations in anisotropic media. Part II: Nonlinear propagation and frequency conversion, soumis à J. Math. Phys.
INTRODUCTION
Mon domaine d'expertise couvre la propagation d'ondes en milieux complexes et j'ai développé une approche de ce sujet par la théorie des probabilités. Les phénomènes mis en jeu sont particulièrement intéressants car leur analyse requiert des outils mathématiques élaborés et de plus ils donnent lieu à de nombreuses applications prometteuses, notamment pour la communication à haut débit par fibre optique. Les thèmes de recherche que j'ai abordés ont principalement consisté en : la propagation linéaire dans des fibres optiques multi-modes réelles (i.e. avec des défauts modélisés par des processus aléatoires), la propagation non-linéaire dans des fibres mono-modes ou bi-modes (développement d'instabilités modulationnelles et propagation stable de solitons), le lissage optique et la propagation de faisceaux laser partiellement cohérents.
De très nombreux problèmes de propagation d'ondes sont encore ouverts. Les plus pertinents à mon sens sont ceux qui donnent lieu à des applications technologiques prometteuses et nécessitent des mathématiques sophistiquées. Mes projets de recherche portent dans cet esprit d'une part sur des problèmes liés à la propagation de trains d'impulsions courtes dans des fibres optiques pour application à la télécommunication et d'autre part sur des problèmes relatifs à la propagation, l'amplification et la conversion de fréquences de faisceaux lasers partiellement cohérents pour application à la nouvelle génération de lasers de la classe MégaJoule.
CADRE DES TRAVAUX : L'OPTIQUE EN MILIEUX COMPLEXES
L'optique classique repose sur la nature linéaire des équations
de propagation, qui signifie que tout champ, même extrêmement complexe,
est en réalité la superposition d'ondes planes
beaucoup plus simples.
Néanmoins des comportements variés sont possibles
lorsque la lumière traverse un milieu complexe.
Les effets induits
sont essentiellement au nombre de deux : la
dispersion d'une part et la localisation d'autre part.
La dispersion est un phénomène qui peut se manifester
dans un milieu homogène ou inhomogène.
Elle résulte du fait que la relation de dispersion
(qui relie la fréquence temporelle w
et le nombre
d'onde spatial k)
n'est pas linéaire en général hors du vide,
ce qui implique que la vitesse
de phase w(k)/k
n'est pas constante.
Comme une solution générale consiste en une superposition
de modes avec différents k, les modes vont alors
se propager à des vitesses différentes et se disperser.
C'est par exemple le cas pour l'équation de Schrödinger linéaire :
dont la relation de dispersion est w(k)=k2. La localisation est elle un phénomène qui se manifeste lors de la propagation dans un milieu aléatoirement inhomogène. Elle exprime le fait que le coefficient de transmission d'une onde décroît de manière exponentielle avec la taille du milieu aléatoire; en particulier, il existe l (k) nombre strictement positif appelé longueur de localisation qui dépend du nombre d'onde k, tel que pour L >> l (k) la transmission est très faible. Ce phénomène fut découvert par Anderson en 1958, et peut être gênant pour de nombreuses applications, par exemple pour des transmissions de signaux à longue distance, mais on peut aussi en tirer parti. En particulier on cherche aujourd'hui à développer des cavités laser aléatoires sans miroir, où la formation de la cavité est assurée par la diffusion multiple dans le milieu désordonné.
Le point commun de tous les phénomènes mentionnés
ci-dessus est qu'ils sont décrits par des équations linéaires.
En effet,
l'amplitude du champ a longtemps semblé jouer un rôle mineur
dans les équations de Maxwell.
Cependant, il fut bientôt mis en évidence certains
phénomènes qui ne pouvaient pas se déduire d'une approche linéaire.
Parmi eux le phénomène d'instabilité modulationnelle
fut découvert simultanément au début des années 60
dans de nombreux contextes : physique des plasmas, physique des
fluides (on l'appelle alors instabilité de Benjamin-Feir),
circuits électriques, optique,...
Il se caractérise par la croissance exponentielle
de modulations d'intensité à des fréquences spécifiques
du milieu et de l'intensité moyenne injectée, mais indépendantes
de la forme de l'intensité injectée.
Enfin, grâce à l'invention du laser (light amplification
by stimulated emission of radiation)
des intensités locales extrêmement élevées purent être obtenues,
car le laser est une source
d'une cohérence quasi-parfaite, et peut donc être concentré
et focalisé de manière très efficace.
L'essor de l'optique non-linéaire suivit alors naturellement.
De nombreuses découvertes furent exhibées.
En dimension un, la méthode du scattering de Zakharov
permit de mettre en évidence dans les années 70
l'existence de solitons qui sont des solutions analytiques
et stables de l'équation de Schrödinger non-linéaire :
Un soliton est à l'équation de Schrödinger non-linéaire ce qu'une onde monochromatique est à l'équation de Schrödinger linéaire, à savoir un mode normal de propagation. Un soliton réalise un équilibre stable et parfait entre la dispersion linéaire et l'autofocalisation non-linéaire. Il garde par conséquent sa forme et sa vitesse tout au long de sa propagation. Il résulte en particulier de cette qualité que des trains de solitons sont des candidats idéaux pour la transmission à longue distance d'informations binaires par des fibres optiques. Ainsi, l'optique non-linéaire fut d'abord un domaine négligé, puis approché par la force des choses, et se révèle maintenant très riche et intéressant en vue d'applications pratiques.
DESCRIPTION DES RESULTATS OBTENUS
Les résultats que j'ai obtenus apportent une contribution à l'étude des phénomènes aléatoires dans des problèmes de propagation d'ondes. Ces problèmes ont des origines physiques variées qui dépassent largement le cadre de l'optique. On les rencontre notamment en géophysique (ondes sismiques dans l'écorce terrestre), en acoustique sous-marine (ondes sonar dans l'océan), en électromagnétisme (ondes radio dans l'atmosphère), ... Les phénomènes physiques considérés sont différents, mais ils ont tous lieu dans un milieu complexe dont on ne possède qu'une description statistique. D'un point de vue mathématique, on a donc affaire à des équations d'évolution, qui sont intrinsèquement assez simples, mais dont les coefficients sont aléatoires. Il est alors impossible, d'un point de vue analytique ou numérique, de prétendre résoudre de tels systèmes. Un point essentiel de l'étude consiste alors à appréhender les différentes échelles caractéristiques du problème. Certaines considérations, d'origine physique, nous permettent d'avancer des hypothèses sur les ordres de grandeur respectifs des amplitudes et des distances sur lesquelles varient les coefficients qui interviennent. On développe alors une analyse asymptotique basée sur ces hypothèses. On cherche à mettre en évidence la (ou les) bonne asymptotique, c'est-à-dire les rapports d'échelles entre les diverses quantités qui vont conduire, quand on les pousse à la limite, à un régime asymptotique remarquable. On essaie ensuite d'identifier ces régimes asymptotiques. Ainsi le travail se décompose en trois tâches intimement liées. Tout d'abord vient la phase de modélisation, puis des théorèmes limites entrent en jeu. Enfin on tente d'identifier la limite de la manière la plus simple possible, souvent à travers des lois de processus de diffusion.
Méthodologie
Pour notre part nous avons étudié des problèmes
liés à l'optique, et notamment des problèmes
de propagation dans des fibres optiques linéaires ou non-linéaires.
Les deux premiers points développés
ci-dessous sont consacrés à des problèmes linéaires, et
les points 3 et 4 à des problèmes non-linéaires.
Le cinquième point, qui traite aussi de phénomènes aléatoires
et non-linéaires en optique, représente une grosse part du travail
que j'ai effectué ces dernières années,
car la modélisation des problèmes
et les applications des résultats ont nécessité
au moins autant de travail que la résolution des questions mathématiques
elles-mêmes.
De manière générale,
j'ai passé beaucoup de temps à développer des collaborations avec
des physiciens, à la fois en optique des fibres optiques
(avec F. Kh. Abdullaev de l'Institut de Physique de Tashkent,
E. Seve et S. Wabnitz de l'Université de Dijon,
et des ingénieurs d'Alcatel-Marcoussis)
et en optique des lasers de puissance
(L. Videau, C. Gouédard et C. Rouyer du CEA, et
C. Sauteret et A. Migus du Laboratoire pour
l'Utilisation des Lasers Intenses à l'Ecole Polytechnique).
La mise au point d'un langage commun,
la bonne compréhension des problèmes physiquement intéressants,
sont à mon sens
des points cruciaux du point de vue des mathématiques appliquées.
Faute de quoi les mathématiques que je développe resteront
au stade de l'applicable,
et ne passeront jamais au stade de l'appliqué.
De plus, comme je tiens à voir mes résultats effectivement appliqués,
je suis obligé de rédiger une version claire des résultats
qui soit exploitable par les physiciens.
C'est pourquoi j'ai publié certains de mes travaux
dans des revues d'optique et non de mathématiques.
Mais ceci n'enlève rien à la rigueur des
démonstrations des résultats.
Preuve en est :
après avoir dépensé beaucoup d'énergie à essayer d'expliquer
une observation expérimentale ``anormale''
en essayant de les analyser avec les équations de propagation
qu'on peut trouver dans les livres d'optique classique,
j'ai été obligé de revoir la
dérivation de l'équation de Schrödinger
à partir de l'équation de Maxwell dans les cristaux,
pour m'apercevoir que des termes avaient été négligés,
qui conduisent à une forme généralement
anisotrope de l'opérateur de diffraction
(au lieu du Laplacien transverse habituel).
La première vérification expérimentale sur des cristaux de KDP
(
KH2PO4
dihydrogénate de potassium)
vient juste d'avoir lieu,
et les conséquences théoriques et pratiques de ce résultat
risquent de m'occuper encore quelque temps.
1) Propagation linéaire dans des fibres optiques multi-modes
Nous avons démontré des théorèmes originaux d'approximation-diffusion
à plusieurs échelles
pour les appliquer ensuite à des problèmes de propagation d'ondes
en milieux aléatoires :
transmission de modes optiques à travers un guide
d'ondes plan aléatoire
[4,17];
propagation d'une onde dans une fibre optique
à variation d'indice quadratique.
Nous avons considéré différents modèles de perturbations
(défauts d'indice, d'alignement, de courbure,...)
et nous avons étudié la situation asymptotique naturelle
en optique où les fluctuations des paramètres
sont petites mais la distance de propagation est longue.
Des expressions précises pour l'onde en sortie du guide
ont été calculées.
Elles montrent que des comportements très variés
peuvent se produire, comme des translations, des étalements
ou même des focalisations.
2) Etude de l'oscillateur harmonique quantique soumis
à des forces aléatoires
Il est apparu que le problème de la propagation
dans des fibres à variation d'indice quadratique
se formulait de manière identique à celui
de l'oscillateur harmonique quantique,
à ceci près que la coordonnée spatiale selon l'axe de propagation
dans la fibre est remplacée par le temps dans le cas de
l'oscillateur harmonique.
Nous nous sommes alors penché sur ce dernier problème,
pour s'apercevoir après quelques discussions avec les physiciens
que les questions physiquement pertinentes étaient
très différentes dans les deux problèmes.
Nous avons donc dû revoir de manière profonde
notre travail avant d'être en mesure de fournir des résultats
intéressants
[9,16,23].
La question que nous avons traitée est la suivante.
Nous avons considéré l'évolution d'une particule dans
un oscillateur harmonique plongé dans un champ de forces
dérivant d'un potentiel aléatoire ergodique en temps.
Ce potentiel est petit mais les échelles de temps sur lesquelles
les mesures de l'énergie de la particule sont effectuées
sont longues.
Nous avons pu étudier le régime asymptotique correspondant,
pour lequel il est possible de calculer des équations d'évolution effectives.
Nous avons trouvé en particulier un système fermé gouvernant
les probabilités de transition,
qui peut être interprété en termes d'un processus markovien de sauts.
Grâce à cette interprétation on
a alors pu calculer explicitement la distribution d'énergie
de la particule.
3) Transmission de solitons à travers un milieu aléatoire
Ce volet constitue une contribution
à la lignée des travaux qui étudient la compétition entre
les effets aléatoires et non-linéaires dans les phénomènes de
propagation d'ondes.
Il est connu que, d'une part, dans un milieu linéaire
uni-dimensionnel aléatoire,
la localisation d'Anderson intervient, ce qui signifie en particulier que
l'intensité transmise décroît de manière exponentielle
avec la taille du milieu.
D'autre part, en l'absence d'inhomogénéités, certains systèmes
non-linéaires laissent se propager des paquets d'ondes isolés
(appelés solitons) sans déformation et à vitesse constante.
Nous avons étudié la propagation de solitons à travers des systèmes
non-linéaires aléatoirement perturbés
[7,15].
Nous avons considéré l'équation de Schrödinger non-linéaire
uni-dimensionnelle,
qui modélise la propagation d'impulsions solitons
à travers des milieux non-linéaires du type fibre optique.
Des inhomogénéités viennent perturber légèrement
le potentiel, le coefficient de dispersion de vitesse de groupe
et le coefficient non-linéaire.
Nous avons recherché l'effet de ces petites perturbations
après une importante longueur de transmission,
en développant une méthode de perturbations
stochastiques autour de la transformation d'inverse scattering.
Il apparaît plusieurs régimes asymptotiques possibles,
lorsqu'on fait tendre à la fois
l'amplitude des fluctuations aléatoires vers zéro et
la taille de la couche considérée vers l'infini.
Le soliton peut voir sa masse diminuer de manière exponentielle
(en fonction de la taille du milieu traversé),
ou encore selon une loi en puissance;
il peut même conserver sa masse quasi-indéfiniment
si celle-ci est suffisamment importante initialement,
les perturbations n'affectant alors que sa vitesse.
4) Instabilité modulationnelle dans les fibres optiques non-linéaires
à coefficients variables
Nous avons considéré un autre problème
lié à la propagation non-linéaire dans des fibres optiques.
Il est connu que l'action conjuguée d'une non-linéarité de type Kerr
et de la dispersion chromatique peut provoquer
le développement d'une instabilité modulationnelle,
qui conduit à la croissance exponentielle de modulations
d'amplitude sur des ondes initialement quasi-continues.
Ce phénomène est en fait un des principaux facteurs
qui limitent le taux de transfert dans la transmission par fibres optiques
à haut débit, car il est d'autant plus important que l'impulsion
est courte.
L'instabilité modulationnelle a été étudiée
dans le cadre de l'équation de Schrödinger non-linéaire
homogène, qui décrit la propagation d'impulsions courtes
dans des fibres optiques parfaitement homogènes.
Mais les fibres réelles présentent des fluctuations aléatoires
de leurs paramètres.
Nous avons donc considéré une
équation de Schrödinger non-linéaire
[24] (ou un système d'équations
de ce type couplées
[14]) à coefficients variables et
nous avons calculé les exposants de Lyapunov qui caractérisent les gains
de ces instabilités.
5) Propagation de faisceaux lasers partiellement cohérents
Cette partie est le fruit d'une collaboration avec le centre
de Limeil-Valenton du CEA et le laboratoire pour l'Utilistion des
Lasers Intenses de l'Ecole Polytechnique
au sein de l'activité du GdR "Propagation d'Ondes
en milieux Aléatoires et / ou Non-linéaires",
maintenant appelé ``PRopagation et Imagerie en Milieu Aléatoire''.
La situation reliée à la recherche sur
la fusion par confinement inertiel est la suivante.
En irradiant de toutes parts pendant une durée
de quelques nanosecondes une capsule sphérique contenant
un mélange de deutérium et de tritium à l'aide d'une multitude
de faisceaux laser de puissance,
on pense comprimer la sphère suffisamment pour qu'un point chaud
s'y développe et déclenche une réaction de fusion.
Cette méthode requiert une irradiation
parfaitement uniforme, faute de quoi la sphère se brise au lieu
d'imploser.
Or de petites aberrations, inévitables dans les chaînes
d'amplification, impriment une légère distorsion du profil spatial
des faisceaux, et rendent a priori inaccessibles les critères
drastiques d'uniformité de l'irradiation.
Le lissage optique tente d'apporter une solution à ce problème.
Au lieu de chercher à supprimer les distorsions, on va en rajouter,
en imposant par exemple des lames de phase aléatoires
pour briser la cohérence spatiale, et des modulateurs
de phase aléatoires pour briser la cohérence temporelle.
Ainsi, la cible va voir un profil spatial très perturbé,
mais fluctuant de manière très rapide,
avec un temps caractéristique de l'ordre de la picoseconde.
Comme le temps de réponse du plasma est plus long,
celui-ci va intégrer les profils spatiaux qui,
par un effet de type loi des grands nombres,
vont tendre vers un profil moyen plat.
Ainsi, si le profil spatial instantané est perturbé, le profil
spatial intégré temporellement est très lisse.
Notre contribution est double.
D'une part nous avons caractérisé de manière
précise la statistique et la dynamique des profils spatiaux
générés par les différentes méthodes de
lissage envisagées
[5,11,12,13].
D'autre part, selon la méthode de lissage retenue,
on propage dans la chaîne laser un faisceau présentant des
caractéristiques de cohérences spatiale et/ou temporelle partielles.
Nous avons donc étudié l'impact de ces caractéristiques
aux différents étages de propagation linéaire
[19] et non-linéaire
[6],
d'amplification
[8] et de conversion de fréquence.
6) Etude de la convergence d'algorithmes génétiques
Ces travaux se situent à la marge des autres résultats obtenus.
Il s'agit en fait d'un concours de circonstances qui a abouti au fait que
mon bureau était encadré par ceux de Marc Schoenauer et Leila Kallel,
deux ``généticiens'' (au sens informatique)
dont le travail consiste à résoudre des problèmes très complexes
à l'aide d'algorithmes évolutionnaires stochastiques.
Après de nombreux mois où des discussions informelles
sur nos travaux respectifs allaient croissants,
nous avons finalement convenu qu'une collaboration entre nous
pouvaient conduire à des résultats intéressants la
communauté des généticiens.
Nous avons développé une approche probabiliste pour calculer
le temps de convergence de certains algorithmes évolutionnaires.
Pour simplifier,
les algorithmes évolutionnaires ont pour but de
trouver les maxima locaux, et en particulier le maximum global,
d'une fonction
f: E -> F
dont on ne connaît
pas les propriétés
de régularité ou de convexité.
On sait seulement calculer ou estimer la valeur de la fonction en tout point.
La méthode qui consiste à calculer
la valeur de la fonction en tous les points de l'espace E
marche à tout coup pour trouver le maximum,
mais est en pratique beaucoup trop longue.
Les algorithmes évolutionnaires se présentent comme une alternative
à cette méthode exhaustive.
Le mécanisme consiste à faire évoluer une ``population''
(ensemble de points
(xi)i=1,...,n de E appelés ``individus'')
par transformations aléatoires de
ces éléments (mutation et croisement)
et sélection des individus selon leur performance f(xi).
Le problème intéressant
est de comparer les différents opérateurs de mutation,
croisement et sélection
pour déterminer lesquels sont les plus efficaces
sur un type donné de problèmes.
Pour les problèmes binaires
E = {0,1}l
que nous avons regardés,
la population
(xi)i=1,..,n est modélisée
comme une chaîne de Markov sur l'espace d'états En.
Nous avons étudié l'asymptotique l >> 1
dans le sens où
nous avons recherché un développement en l
de l'espérance, de la variance voire de la distribution
complète du premier temps d'atteinte du maximum global
[10,18,21].
TRAVAUX EN COURS ET PERSPECTIVES DE RECHERCHE
J'envisage de poursuivre mes recherches en particulier sur les points
suivants.
1) Solitons en milieux aléatoires
Dans le domaine de l'interaction des phénomènes
aléatoires et non-linéaires,
il serait maintenant très intéressant de considérer
d'autres systèmes complètement intégrables que
l'équation de Schrödinger Non-Linéaire scalaire,
pour lesquels il existe aussi une transformation
d'inverse scattering associée, ce qui démontre
en particulier l'existence de solitons.
Parmi ces systèmes, citons
l'équation de Korteweg-de Vries,
qui possède une dispersion du troisième ordre,
et le système de Manakov qui comprend deux équations
de Schrödinger Non-Linéaires couplées.
Ce dernier système intéresse directement les opticiens, car il
modélise la propagation du champ dans une fibre biréfringente.
D'autre part, l'interaction de solitons en milieu aléatoire
est un sujet intéressant fortement les opticiens
car ce problème se pose lors de la propagation de trains de
solitons dans des fibres optiques et n'a pour l'instant été
considérée qu'en milieu homogène.
Enfin, l'étude de systèmes discrétisés (c'est-à-dire où
la variable transverse vit sur un réseau et
le terme de dispersion est remplacé par exemple par un Laplacien
discret
est un sujet physiquement pertinent, car il décrit
de nombreux systèmes physiquement pertinents
(réseau de fibres optiques couplées,
circuits électriques,
piégeage électronique dans certains cristaux,
etc...)
et mathématiquement intéressants.
En effet certaines versions
discrétisées de l'équation de Schrödinger Non-Linéaire
sont complètement intégrables, et d'autres pas, ce qui laisse
présager la possibilité d'étudier la propagation et la
stabilité de solutions de type solitons dans de tels systèmes.
2) Instabilité modulationnelle pour l'équation de
Schrödinger vectorielle
Dans le cadre de l'étude de la croissance d'instabilités
modulationnelles dans des fibres optiques,
on ne peut pas se contenter d'une équation scalaire
pour modéliser la propagation du champ
car on néglige alors tous les effets de polarisation.
L'évolution des deux composantes d'un champ
dans une fibre biréfringente
est gouvernée par un système de deux équations de Schrödinger
Non-Linéaires couplées.
Par rapport au cas scalaire, au moins deux nouvelles sources
potentielles d'aléa
apparaissent : la différence de vitesses de groupe
entre les deux modes
(polarisations) et le coefficient de couplage non-linéaire
entre les modes
[22].
Les techniques utilisées sont essentiellement les mêmes
que dans le cas scalaire, mais la difficulté nouvelle principale
réside dans la maîtrise de l'évolution simulatanée
du module des deux modes et de leur angle relatif (déphasage).
Il reste ensuite tout un travail d'optimisation
à effectuer avec des expérimentateurs en vue
de déterminer les configurations les moins sensibles
aux perturbations.
3) Etude des solitons à gestion de dispersion
Un des buts de l'optique moderne est la conception
de systèmes pour la transmission d'information à haut débit.
Les systèmes à fibres optiques à gestion de dispersion
sont aujourd'hui étudiés pour leurs performances remarquables
comme lignes de communication.
Leur principe repose sur une variation périodique
du coefficient de dispersion de la fibre, de telle sorte que
la dispersion moyenne est nulle sur une période.
Si les systèmes étaient complètement linéaires
il serait possible de construire une ligne idéale transmettant
des trains d'impulsions sur des distances arbitrairement longues,
avec une déformation moyenne nulle.
En réalité, on ne peut négliger ni les aberrations de la ligne
sur des distances de propagation de plusieurs milliers
de kilomètres, ni les effets non-linéaires qui s'accumulent et
interagissent de manière complexe.
Il ressort alors que l'étude de la transmission
d'impulsions en milieu non-linéaire et aléatoire
est le problème clé qui limite aujourd'hui
le débit des fibres optiques.
Les démarches expérimentales ou numériques
utilisées actuellement ne permettent pas d'explorer toutes
les possibilités,
et une approche plus théorique s'avère nécessaire
pour l'élaboration de configurations performantes,
voire même optimales.
Notre but est de déterminer les bons modèles,
de les analyser mathématiquement et d'optimiser numériquement
leurs caractéristiques.
4) Conversion de fréquences de faisceaux lasers partiellement cohérents
La dérivation des équations de propagation
non-linéaire dans les milieux anisotropes
[25-26]
permet maintenant une étude précise de la conversion de fréquence
de faisceaux à spectre large partiellement cohérents.
Dans le même domaine,
et toujours en collaboration avec des laseristes du CEA,
j'étudie maintenant l'effet
``cascade'' en vue de générer des impulsions
présentant des caractéristiques contrôlées
de cohérences partielles dans les domaines temporel et spatial,
avec le grand avantage de n'engendrer que des modulations de phase
de l'impulsion, et pas de modulation d'amplitude qui
sont critiques en termes de rendement d'amplification
et de conversion de fréquence.
Le principe est le suivant (proposé par L. Videau).
La technique repose sur le mélange d'une onde signal monochromatique
de faible énergie avec une onde pompe incohérente
de forte énergie dans un cristal non-linéaire.
Dans cette configuration le cristal est placé loin des
conditions d'accord de phase, de telle façon que le rendement
de conversion de fréquence est très petit.
Par contre, les modulations d'intensité de l'onde pompe peuvent être
transférées sous la forme de modulations de phase sur l'onde signal.
On peut tirer de cette technique le
principe d'un générateur de phase tout optique
massif à haute fréquence.
Mais pour en appréhender le fonctionnement,
il faut correctement prendre en compte
les différences de vitesses de groupe et les dispersions des vitesses
de groupe dans le domaine temporel,
et la dispersion angulaire et la diffraction dans le
domaine spatial [20].
5) Modélisation de la croissance Laplacienne de dendrites
Avec H. Ammari et E. Bonnetier
a été mis en place un séminaire intitulé ``Propagation d'Ondes
dans les Matériaux Complexes'' au Centre de Mathématiques
Appliquées (CMAP).
L'étude mathématique ainsi que la modélisation de ces sujets
font partie des thèmes de
recherche de nombreux chercheurs au CMAP. En particulier, nos
domaines d'expertise couvrent la propagation d'ondes en milieux
complexes, l'étude des milieux composites, et la mise au point de
codes de calcul numérique pour les modèles correspondants. Sur
ces sujets, les membres du laboratoire ont acquis une compétence
reconnue sur le plan international.
Nous sommes convaincu que notre
savoir-faire peut être d'un grand interêt dans d'autres
disciplines, s'il est appliqué à des problèmes pertinents.
En organisant ce séminaire, nous espérons
interagir avec des chercheurs d'autres
disciplines, en particulier avec ceux de l'Ecole Polytechnique et
du plateau d'Orsay.
Comme premier produit de ce séminaire une collaboration active
a été engagée avec J.-F. Gouyet (Laboratoire de Physique de la
Matière Condensée, Ecole Polytechnique)
sur la cinétique des structures cristallines hors d'équillibre.
Il s'agit d'un aspect particulier
du problème beaucoup plus général de l'évolution
des interfaces dans des systèmes multi-phasiques.
Nous nous intéressons en ce moment à la croissance dendritique
pour laquelle des aiguilles se développent à partir
d'une surface cristalline initialement quasi-plane.
Nous modélisons ce phénomène à l'aide de processus de branchement
et de diffusion en compétition.