Cours 3A MAP551
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Systèmes dynamiques pour la modélisation et la simulation des «milieux réactifs» multi-échelles
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M. Massot - L. Séries
T. Sayadi - R. Di Battista
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2018-2019
Cours 3A MAP551
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Systèmes dynamiques pour la modélisation et la simulation des «milieux réactifs» multi-échelles
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M. Massot - L. Séries
T. Sayadi - R. Di Battista
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2018-2019
Descriptif du cours
Dans un nombre croissant d'applications scientifiques et industrielles, la modélisation et la simulation numérique jouent un rôle clef pour comprendre et analyser les phénomènes physiques complexes mis en jeu. Un élément commun à ces systèmes énergétiques, spatiaux, biologiques, mécaniques, fluides, etc... tourne autour de la notion de systèmes dynamiques, dont l'évolution en temps et les domaines de stabilité/instabilité gouvernent les propriétés qualitatives des solutions. Ces systèmes sont particulièrement multi-échelles, c'est-à-dire qu'ils impliquent une très large variété d'échelles en temps, voire d'espace. Ils posent alors de nombreuses difficultés si l'on veut en faire une résolution numérique précise afin de disposer d'outils de prédiction de leur dynamique fiables.
Dans ce cours, nous étudierons des exemples dans de nombreux domaines d'application comme la combustion, la mécanique des fluides, la dynamique des populations, la dynamique chimique non-linéaire ou le génie biomédical, que l'on rassemble sous le vocable de « milieux réactifs » (Un milieu impliquant plusieurs «espèces» qui «réagissent» entre elles avec un certain niveau de complexité impliquant un large spectre d'échelles de temps, voire d'espace). Le cours repose sur un premier fil rouge d'une compréhension de ce qu'est une hiérarchie de modèles à différentes échelles. Nous proposons d'identifier les enjeux en termes mathématiques afin de comprendre et d'analyser la dynamique de ces systèmes en dimension finie, voire d'en proposer une simulation précise, fiable et prédictive.
Les domaines sur lesquels le cours donnera une expertise sont : analyse mathématique, schémas numériques pour les systèmes d'équations différentielles, analyse de la stabilité des systèmes - bifurcation, implémentation numérique et bibliothèques de programmes permettant la simulation numérique ou l'analyse de bifurcations. Des applications sur machines permettrons une analyse de la dynamique mais aussi une compréhension des schémas numériques à la base d'une simulation précise et robuste, ainsi qu'une ouverture sur les enjeux du calcul haute performance. L'ensemble des petites classes se font au moyen de notebooks Jupyter (http://jupyter.org/), ce qui permet une familiarisation avec les concepts et les méthodes numériques particulièrement efficace, puis d'analyse les résultats en terme des applications. L'ensemble des techniques proposées sera illustré sur des exemples simples mais symptomatiques des enjeux des systèmes complexes rencontrés dans les applications. Un mini-projet permet de mettre en oeuvre les notions et méthodes enseignées et de se confronter à des systèmes appliqués.
Le cours ne demande pas de pré-requis et est offert dans le cadre des département de Mathématiques APpliquées et de Mécanique de l’Ecole polytechnique.
L’évaluation se fait sous la forme d’un contrôle continue par évaluation de comptes rendus de Travaux Pratique (6 CRTP - 2/3 note finale). L’évaluation finale sous la forme de mini-projet et soutenance (1/3 note finale).
Contenu détaillé :
•Modélisation mathématique des systèmes dynamiques réactifs complexes multi-échelles. Hiérarchie de modèles et complexité. Revue d'un ensemble de cas d'application allant de la dynamique des populations en biologie, à la combustion et à la dynamique de flammes, en passant par les milieux excitables, la mécanique des fluides, la physique solaire, etc..
•Rappels sur l'analyse mathématique des systèmes dynamiques (théorie d'existence et unicité, comportement au voisinage des points non singulier, redressement du flot) et leur classification. Identification précise des systèmes dissipatifs et conservatifs. Applications en dynamique des populations et mécanique.
•Approximation numérique des systèmes différentiels dissipatifs et applications. Schémas classiques dans le cas non raide, enjeux associés à la raideur des systèmes. Conditions d'ordre et notion de stabilité des schémas numériques (A-, L- et B-stabilité). Application sur des systèmes différentiels issus des champs applicatifs mentionnés précédemment.
•Méthodes numériques avancées pour l'intégration des systèmes d'équations différentiels ordinaires (séparation d'opérateur, ROCK4, RADAU5 ...). Applications à des systèmes raides issus des applications.
•Analyse du comportement asymptotique des systèmes en présence de petits paramètres, perturbation singulière et système fortement oscillants.
•Analyse des points singuliers hyperboliques et classification topologique de la dynamique au voisinage d'un point d'équilibre. Stabilité des points d'équilibre, détection des points de bifurcation et méthodes de continuation. Application à des systèmes chimiques, physiques et mécaniques.
•Cas des systèmes spatialement étendus, onde progressives, trajectoire hétéroclines et homoclines, structures de Turing. Applications en biologie, chimie et combustion.
•Analyse et classification des bifurcations - Formes normales et symétrie. Applications en chimie, mécanique des fluides, dynamique des population, mécanique des fluides.
•Méthodes numériques pour les systèmes dynamiques conservatifs, intégrateurs symplectiques.
•Ouverture sur le chaos - Conférence.
Biblliographie Mathématique :
•J.P. Demailly, Analyse numérique et Equations différentielles, Presses Universitaires de Grenoble, 1996
•E. Hairer, S.P. Nørsett, G. Wanner, Solving Ordinary Differential Equations I - Nonstiff Problems, Springer Series in Computational Mathematics (1993)
•E. Hairer, G. Wanner, Solving Ordinary Differential Equations II - Stiff and Differential-Algebraic Problems, Springer Series in Computational Mathematics (1996)
•E. Hairer, C. Lubich and G. Wanner, Geometric Numerical Integration, Structure-Preserving Algorithms for Ordinary Differential Equations, 2nd edition, Springer Verlag, Berlin (2006)
•S. Wiggins, Ìntroduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos, Texts in Applied Mathematics, Springer (2003)
•M. Duarte, Méthodes numériques adaptatives pour la simulation de la dynamique de fronts de réaction multi-échelles en temps et en espace, Thèse de Doctorat de l'Ecole Centrale Paris (2011) sur TEL
Biblliographie Appliquée :
•I.R. Epstein and J.A. Pojman, An Introduction to Nonlinear Chemical Dynamics: Oscillations, Waves, Patterns and Chaos, Oxford University Press (1998)
•Ya.B. Zeldovich, G.I. Barenblatt, V.B. Librovich, G.M. Makhviladze, The Mathematical Theory of Combustion and Explosions, Consultant Bureau (1985)
•P. Gray, S.K. Scott, Chemical Oscillations and Instabilities: Non-linear Chemical Kinetics, International Series of Monographs in Chemistry - 21, Clarendon Press, Oxford (1994)
•P. Manneville, Instabilité, Chaos et Turbulence, Les éditions de l'Ecole polytechnique (2004)
•V. Giovangigli, Multicomponent Flow Modeling, Modeling and Simulation in Science, Engineering and Technology Series, Birkhäuser (1999)
•P. Holmes, J. Lumley, G. Berkooz, C.W. Rowley, Turbulence, coherent structures, dynamical systems and symmetry. Second edition. Cambridge Monographs on Mechanics. Cambridge University Press (2012)
Cours 1 - 17 Septembre 2018 - introduction et Notion de hiérarchie de Modèles
PC 1
Cours 2 - 24 Septembre 2018 - Fondements Théoriques / Systèmes conservatifs et Dissipatifs
PC 2
Cours 3 - 1 Octobre 2018 - Aspects numériques de l’intégration des EDO - bases
PC 3
Cours 4 - 15 Octobre 2018 - Aspects numériques de l’intégration des EDO - RK
PC 4
Cours 5 - 22 Octobre 2018 - Aspects numériques de l’intégration des EDO - Méthodes Avancées (Splitting / Radau / Rock)
PC 5
Liste Mini-projets - Novembre 2018 - Séance de travail 17 Décembre 2018 - PC 41 - 14h
Projet 1 – Ondes progressives dans un milieu excitable : Belousov-Zhabotinsky. Sujet du MP
Le but de ce projet est d’étudier les ondes progressives pour le système de BZ au même titre que ce que nous avons fait dans la PC7 pour les ondes progressives de type Nagumo (analyse de l’erreur de splitting, vitesse de l’onde, technique d’intégration dans le cas 3 et 2 équations, plan de phase…) mais dans un cadre où l’on a plusieurs EDP. On pourra s’inspirer de divers documents pour comprendre la dynamique de ces ondes progressives en 1D et 2D (1D : thèse M. Duarte, son rapport de stage de Master, rapport de projet de 2A à Centrale de Auclert et Gillot, 2D si le temps le permet avec l’aide de Laurent Séries : article joint).
Projet 2 – Etude théorique et numérique d’un système dynamique modélisant un réacteur chimique avec une chimie complexe. Sujet du MP
On veut ici expliquer comment l’entropie du mélange est une fonction de Lyapounov globale du système dynamique et permet de prédire le comportement en temps long du système. Un polycopier d’agrégation de Mathématique permet de construire de manière systématique et arbitraire de « petits systèmes jouets » dont on proposera une intégration numérique montrant la convergence vers l’unique état d’équilibre asymptotiquement stable.
Projet 3 – Mécanique Céleste - Galaxies. Sujet du MP
Etude d’un système en mécanique céleste à plusieurs planètes dans un premier temps puis d’une interaction de Galaxies par la suite avec un schéma symplectique. Le but de ce projet est de lire un article de Gille Vimart et de proposer une intégration numérique d’un système simple dans un premier temps de mécanique céleste et de voir comment on peut, en s’appuyant sur un algorithme de Barnes-Hut, simuler la dynamique de l’interaction de deux galaxies.
Projet 4 – Dynamique de particules dans des tourbillons modélisant l’interaction avec la turbulence. Sujet du MP
Le but de ce projet est d’observer, au moyen de petites simulation la dynamique de particules inertielles dans un champs oscillant. Sur la base d’un rapport d’étude, et sur la base d’un rapport de projet et Post-doctorat, il s’agit d’identifier la dynamique de trajectoires dans l’espace des phases, points limites et bifurcations de points d’équilibre.
Projet 5 – Convection naturelle de Rayleigh Bénard. Sujet du MP
Le but de ce projet est de procéder à l’analyse linéaire de stabilité d’une couche de fluide au repos pour identifier la bifurcation sur le nombre de Rayleigh à partir de laquelle on observe des tourbillons qui se mettent en place. La première partie de l’étude repose sur l’étude du chapitre 2.3 de Getling fourni. La seconde partie propose, à partir d’un code de calcul fourni de tester la validité de cette analyse numériquement.
Projet 6 – Structures de Turing. Sujet du MP
Le but de ce projet est de poursuivre l’étude proposée dans le cadre de la PC7 sur les structures de Turing. L’idée est d’étudier différents régimes pour diverses valeurs de paramètre et reproduire les simulations proposées dans plusieurs articles autour des même auteurs (Jensen et al).
Matériel Documentaire pour les Mini-Projets
Cours 6 - 5 Novembre 2018 - Points Singuliers Hyperboliques
PC 6
Cours 7 - 12 Novembre 2018 - Systèmes spatialement étendus
PC 7
Cours 8 - 19 Novembre 2018 - Théorie de la Bifurcation
PC 8
Cours 9 - 26 Novembre 2018 - Intégrateurs Symplectiques
PC 9
Conference - 4 Décembre 2018 - C. Letellier - Chaos
•Transparents - Otto Rosler - 1975-76 - des réactions chimiques à la topologie du chaos
•Croissance tumorale : des modèles mathématiques aux applications cliniques